A folytonosság és a deriválhatóság kapcsolata

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$ Ekkor

1. $f\in D\{a\}⟹f\in C\{a\}$,
2. Az állítás megfordítása nem igaz.

Bizonyítás

1. Ha $f\in D\{a\}$, akkor $$\begin{gathered} \underset{x\to a}{\lim }\left(f(x)-f(a)\right)=\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot (x-a)\right)= \\ =\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot \underset{x\to a}{\lim }(x-a)=f^{\prime }(a)\cdot 0=0. \end{gathered}$$ ez éppen azt jelenti, hogy $f\in C\{a\}$.

2. Van olyan folytonos függvény, amelyik egy pontban folytonos, de ott nem deriválható.
   Például az $$f:\mathbb{R}\to \mathbb{R},f(x):=|x|$$ abszolút érték függvény az $a=0$ pontban.

Valóban $f\in C\{0\}$, de $f\notin D\{0\}$, hiszen minden $x\ne 0$ esetén $$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{|x|-|0|}{x}=\frac{|x|}{x}$$ ami $1$, ha $x>0$ és $-1$, ha $x<0$ és így $$\begin{gathered} \underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=-1 \\ \acute{\mathrm{e}}\mathrm{s} \\ \underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1 \end{gathered}$$ Ezért az $f$ függvény $0$ pontbeli differenciálhányadosa nem létezik.