Görbék, felületek és a fény útja

• Görbék, felületek és a fény útja
  • Egyszerű görbék és felületek
    • Görbék
      • Görbék transzformációja
      • Parabola
      • Kör
      • Ellipsis
      • Szakasz
      • Görbék parametrikus alakja
      • Görbe érintőegyenese
    • Felületek
      • Felületek felületi normálisa
      • Gömb
      • Ellipszoid
      • Egyszerű paraboloid
  • A fény útja
    • Jelölések
    • Ideális tükröződés
      • Visszaverődési törvény
      • Visszaverődési irány
    • Ideális törés
      • Snellius-Descartes törvény
      • Törési irány
  • Források

Egyszerű görbék és felületek

A görbéket, felületeket egy-egy ponthalmaznak tekintjük.

Hogyan adjuk meg ezeket a halmazokat?

• explicit: $y=f(x)\to \{(x,f(x))|x\in {\mathcal{D}}_f\}$
• parametrikus: $p(t)=\left[\begin{array}{c}x(t)\\ y(t)\end{array}\right],t\in \mathbb{R}\to \{p(t)|t\in {\mathcal{D}}_p\}$
• implicit: $f(x,y)=0\to \{x\in {\mathcal{D}}_f|f(x)=0\}$

Görbék

Görbék transzformációja

Hogyan transzformálhatunk görbéket a különböző megadási módokban?

• Explicit:
  • Függőleges eltolás és nyújtás: függvényérték módosítása
    $\to y=a\cdot f(x)+b$
  • Vízszintes eltolás és nyújtás: a paraméter módosítása
    $\to y=f(\frac{x}{c}-d)$
• Parametrikus: az eredménypont transzformációja
  $\to A\cdot p(t)$
• Implicit: a paraméter transzformációja inverzzel
  $\to f(A^{-1}\cdot x)=0$

Parabola

Az $y$ tengelyű, $(0,p)$ fókuszpontú parabola egy

• Implicit egyenlete: $x^2=4py$
• Explicit egyenlete: $y=\frac{x^2}{4p},x\in \mathbb{R}$
• Parametrikus egyenlete: $p(t)=\left[\begin{array}{c}t\\ \frac{t^2}{4p}\end{array}\right],t\in \mathbb{R}$

Mi van ha a $c$ pontba akarjuk eltolni az origóból a parabolát?

Az implicit és az explicit alakban be kell vinni a $(c_x,c_y)$ koordinátákat. (pl. implicitből $(x-c_x{)}^2=4p(y-c_y)$ lesz)

Parametrikus alakban egyszerűen $p(t)+c$ lesz az új alak.

Kör

A $c\in {\mathbb{E}}^2$ középpontú, $r$ sugarú kör egy

• Implicit egyenlete: $(x-c_x{)}^2+(y-c_y{)}^{2}Z{r}^2$
• Explicit alakban nem tudjuk az egész kört leírni egy függvénnyel
  (De két darabban menne, pl.: $c=0,r=1$ mellett $y=\pm \sqrt{1-x^2}$, ahol $x\in [-1,1]$)
• Parametrikus egyenlete: $p(t)=r\left[\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right]+c$, ahol $t\in [0,2\pi )$

Ellipsis

A $c\in {\mathbb{E}}^2$ középpontú, nagytengelyével az $x$ tengellyel párhuzamos, $2a$ nagytengelyű és $2b$ kistengelyű ellipszis egy

• Implicit egyenlete: $\frac{(x-c_x{)}^2}{a^2}+\frac{(y-c_y{)}^2}{b^2}=1$
• Explicit alakban ugyan az a probléma, mint a körnél.
• Parametrikus egyenlete: $p(t)=\left[\begin{array}{c}a\cos t\\ b\sin t\end{array}\right]+c$, ahol $t\in [0,2\pi )$

De mi van, ha nem akarjuk, hogy $x,y$ tengellyel párhuzamosak legyenek a tengelyeink?

• Implicit egyenlet: ez munkás(nak tűnik és habár nem az, de nekünk most nem kell...)
• Parametrikus egyenlete: bázisccsere! Ha az új tengelyek $k,l$, akkor
  $p(t)=a\cos t\cdot k+b\sin t\cdot l+c$, ahol $t\in [0,2\pi )$

Szakasz

Legyen adott két pont, $a,b\in {\mathbb{E}}^3$. A két ponton átmenő egyenes parametrikus egyenlete: $$p(t)=(1-t)a+tb,$$ ahol $t\in \mathbb{R}$

Ha $t\in [0,1]$, akkor az $a,b$ pontokat összekötő egyenes szakaszt kapjuk.

(lineáris interpoláció)

Görbék parametrikus alakja

Derivártak: $p^{(i)}(t)=\left[\begin{array}{c}{x}^{(i)}(t)\\ y^{(i)}(t)\end{array}\right],t\in [\dots ],i=0,1,2,\dots$

Ha a görbét egy mozgó pont pályájának tekintjük, akkor az első derivált a sebességnek tekinthető, a második agyorsulásnak stb.

Görbe érintőegyenese

A görbe első deriváltja

Felületek

Felületek megadása:

• Explicit: $z=f(x,y)\to \{(x,y,f(x,y))|(x,y)\in {\mathcal{D}}_f\}$
• Implicit: $f(x,y,z)=0\to \{p\in {\mathcal{D}}_f|f(p)=0\}$
• Parametrikus: $p(u,v)=\left[\begin{array}{c}x(u,v)\\ y(u,v)\\ z(u,v)\end{array}\right],(u,v)\in [a,b]\times [c,d]$
  $\to \{p(u,v)|(u,v)\in {\mathcal{D}}_p\}$

Matematikában általában a felfelé mutató tengelynek a $z$ tengelyt tekintik

Az alábbi képletek is ennek megfelelően adják a "várt" képet Grafikában viszont sokszor az $y$ mutat felfelé!

Felületek felületi normálisa

A felület érintősíkjának normálisa

Ha a parametrikus alakban adott a felület:
$n(u,v)={\partial }_{u}p(u,v)\times {\partial }_{v}p(u,v)$

Implicit alakban adott felületnél $n(x,y,z)=\Delta f$, ahol $\Delta f=[f_x,f_y,f_z{]}^T$

Gömb

Implicit egyenlet: $(x-c_x{)}^2+(y-c_y{)}^2+(z-c_z{)}^2=r^2$

Parametrikus egyenlet: $$p(u,v)=r\left[\begin{array}{c}\cos u\sin v\\ \sin u\sin v\\ \cos v\end{array}\right]+c,$$

$(u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ]$

Ellipszoid

Implicit egyenlet: $\frac{(x-c_x{)}^2}{a^2}+\frac{(y-c_y{)}^2}{b^2}+\frac{(z-c_z{)}^2}{c^2}=1$

Parametrikus egyenlet: $p(u,v)=\left[\begin{array}{c}a\cos u\sin v\\ b\sin u\sin v\\ c\cos v\end{array}\right]+c,$ $(u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ]$

Egyszerű paraboloid

Parametrikus egyenlet: $p(u,v)=\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ a{u}^2+b{v}^2\end{array}\right]+c,(u,v)\in {\mathbb{R}}^2$

A fény útja

Jelölések

• $l$ a megvilágító, a fényt "adó" pont felé mutató vektor, ekkor a beesési irány $-l$.
• $n$ a felületi normális.
• $v,l,n$ egységvektorok.
• ${\theta }^{\prime }$ az $l$ és az $n$ által bezárt szög.

Ideális tükröződés

Visszaverődési törvény

A beesési irány ($-l$), a felületi normális ($n$), és a kilépési irány ($r$) egy síkban van, valamint a beesési szög (${\theta }^{\prime }$) megegyezik a visszaverődési szöggel ($\theta$)

Visszaverődési irány

Általános esetben, egy $v$ beeső vektorból a visszaverődési- vagy tükörirány: $$v_r=v-2n(n\cdot v)$$

Mivel $\cos \theta =-n\cdot v$, és $n,v$ egységnyi hosszúak.

Ideális törés

Snellius-Descartes törvény

A beesési irány ($-l$), a felületi normális ($n$), és a törési irány ($t$) egy síkban van, valamint $\eta =\frac{\sin {\theta }^{\prime }}{\sin \theta }$, ahol $\eta$ az anyagok relatív törésmutatója.

Törési irány

Snellius-Descartes törvény:
$\eta =\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }$

$v_t=n\perp \sin \beta -n\cos \beta$

$n\perp =\frac{v+n\cos \alpha }{\sin \alpha }$

$v_t=\frac{v}{\eta }+n(\frac{\cos \alpha }{\eta }-\cos \beta )$

$\cos \beta =\sqrt{1-{\sin }^2\beta }=\sqrt{1-\frac{{\sin }^2\alpha }{{\eta }^2}}$

$v_t=\frac{v}{\eta }+n(\frac{\cos \alpha }{\eta }-\sqrt{1-\frac{1-{\cos }^2\alpha }{{\eta }^2}})$

Források

• Diasor
• Lineáris interpoláció - wikipédia