Az integrálfüggvény deriválhatósága

Kimondás

Legyen $f\in R[a,b],x_0\in [a,b]$ és $F$ az $f$ függvény $x_0$ pontban eltűnő integrálfüggvénye. Tegyük fel, hogy $x\in (a,b)$ olyan pont, amire f \in C{\x} teljesül. Ekkor $F\in D\{x\}$ és $F^{\prime }(x)=f(x)$.

Bizonyítás

Legyen $h>0$ olyan szám, amire $x+h<b$ teljesül. Ekkor a határozott integrál tulajdonságai alapján $$\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}\left({\int }_{x_0}^{x+h}f(t)dt-{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\right)=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt$$

Másrészt, mivel $x$ egy rögzített szám, így $$\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(x)dt=f(x)\cdot \frac{1}{h}\cdot {\int }_x^{x+h}1dt=f(x)\cdot \frac{1}{h}\cdot (x+h-x)=f(x)$$

Ezért az integrál linearitása alapján $$\begin{gathered} \frac{F(x+h)-F(x)}{h}=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt-f(x)+f(x)=\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(t)dt-\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}f(x)dt+f(x)= \\ =\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}(f(t)-f(x))dt+f(x) \end{gathered}$$

Mivel $f\in C\{x\}$, így a definíció szerint $$\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists \delta >0,\forall t\in (x-\delta ,x+\delta ):|f(t)-f(x)|<ϵ$$

Legyen $0<h<\delta$. Ekkor $x\le t<x+h⟹t\in (x-\delta ,x+\delta )⟹|f(t)-f(x)|<ϵ$. Így a fentiek és az integrál tulajdonságai szerint

$$\begin{gathered} \left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right|=\left|\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}(f(t)-f(x))dt\right|\le \frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}|f(t)-f(x)|dt< \\ <\frac{1}{h}{\int }_x^{x+h}ϵdt=\frac{1}{h}\cdot ϵ\cdot (x+h-x)=ϵ⟹\underset{h\to 0+0}{\lim }\left|\frac{F(x+h)-F(x)}{h}-f(x)\right|=0 \end{gathered}$$

Így

$$\underset{h\to 0+0}{\lim }\frac{F(x+h)-F(x)}{h}=f(x)⟹\exists F_{+}^{\prime }(x)=f(x)$$

Hasonlóan igazolható, hogy létezik $F$ bal oldali deriváltja az $x$ pontban, és $F^{\prime }(x)=f(x)$.
Így $\exists F^{\prime }(x)=f(x)$