Differenciálszámítás II. és függvénytulajdonságok kapcsolata a deriválttal I.

• Differenciálszámítás II. és függvénytulajdonságok kapcsolata a deriválttal I.
  • Egyoldali pontbeli deriváltak
  • Magasabb rendű deriváltak
    • Leibniz-szabály
  • Lokális szélsőértékek
    • A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel
  • A differenciálszámítás középértéktételei
    • Rolle-féle középértéktétel
    • Cauchy-féle középértéktétel
    • Lagrange-féle középértéktétel
    • Deriváltak egyenlősége
  • Monotonitás
    • A monotonitás és a derivált kapcsolata
  • A lokális szélsőértékre vonatkozó elégséges feltételek
    • A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű elégséges tétel
    • A lokális szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges tétel
  • Források

Egyoldali pontbeli deriváltak

Vannak olyan esetek, amikor a differenciálhányados létezését a bal és a jobb oldali határértékek egyezésével szükséges vizsgálni.

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in {\mathcal{D}}_f$ olyan pont, hogy $\exists \delta >0:[a,a+\delta )\subset {\mathcal{D}}_f$. Azt mondjuk, hogy az $f$ függvény jobbról deriválható az $a$ pontban, ha létezik és véges a $$\underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$ határérték.

Ezt a határértéket az $f_{+}^{\prime }(a)$ szimbólummal jelöljük, és az $f$ függvény jobb oldali deriváltjának nevezzük.

A bal oldali deriváltat $a$ pontban hasonlóképp értelmezzük.

Magasabb rendű deriváltak

Egy függvényt többször is deriválhatunk (rekurzió).

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$. Azt mondjuk, hogy $f$ kétszer deriválható az $a$ pontban, ha

• $\exists r>0:f\in D(K_r(a))$, és
• az $f^{\prime }$ deriváltfüggvény deriválható $a$-ban, azaz $f^{\prime }\in D\{a\}$

Legyen ekkor $f^{\prime \prime }(a):=(f^{\prime }{)}^{\prime }(a)$ az $f$ függvény $a$-beli második deriváltja.

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$, és tegyük fel, hogy valamely $n=2,3,\dots$ esetén létezik az $f^{(n-1)}$-gyel jelölt $(n-1)$-edik deriváltfüggvény. Azt mondjuk, hogy $f$ $n$-szer deriválható az $a$ pontban (jelölése: $f\in D^n\{a\}$), ha

• $\exists r>0:f\in D^n(K_r(a))$, és
• az $f^{(n-1)}$ deriváltfüggvény deriválható $a$-ban, azaz $f^{(n-1)}\in D\{a\}$

Legyen ekkor $f^{(n)}(a):=(f^{(n-1)}{)}^{\prime }(a)$ az $f$ függvény $a$-beli $n$-edik deriváltja.

Leibniz-szabály

Ha valamilyen $n\in \mathbb{N}$ esetén $f,g\in D^n\{a\}$, akkor

• $f+g\in D^n\{a\}$ és $(f+g{)}^{(n)}(a)=f^{(n)}(a)+g^{(n)}(a)$
• $f\cdot g\in D^n\{a\}$ és $(f\cdot g{)}^{(n)}(a)={\sum }_{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})f^{(k)}(a)g^{(n-k)}(a)$

Lokális szélsőértékek

Az $F\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ függvénynek az $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$ pontban lokális maximuma van, ha $$\exists K(a)\subset {\mathcal{D}}_f,\forall x\in K(a):f(x)\le f(a)$$

Ekkor az $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$ pontot $f$ lokális maximumhelyének nevezzük, az $f(a)$ függvény-érték pedig a függvény lokális maximuma.

A lokális minimumot hasonlóképp definiálhatjuk.

A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel

Tegyük fel, hogy $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és

• $f\in D\{a\}$ valamilyen $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$-ben
• $f$-nek $a$-ban lokális szélsőértéke van

Ekkor $f^{\prime }(a)=0$

Az $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ függvénynek az $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$ stacionárius pontja, ha $f\in D\{a\}$ és $f^{\prime }(a)=0$

A differenciálszámítás középértéktételei

Rolle-féle középértéktétel

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$. Ekkor

• $f\in C[a,b]$
• $f\in D(a,b)$
• $f(a)=f(b)$

$⟹\exists \xi \in (a,b):f^{\prime }(\xi )=0$

Cauchy-féle középértéktétel

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$. Ekkor

• $f,g\in C[a,b]$
• $f,g\in D(a,b)$
• $\forall x\in (a,b):g^{\prime }(x)\ne 0$

$⟹\exists \xi \in (a,b):\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Lagrange-féle középértéktétel

A Rolle-féle középértéktétel ezen tétel speciális esete.

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$. Ekkor

• $f\in C[a,b]$
• $f\in D(a,b)$

$⟹\exists \xi \in (a,b):f^{\prime }(\xi )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Deriváltak egyenlősége

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$.

1. Tegyük fel, hogy $f:(a,b)\to \mathbb{R}$ és $f\in D(a,b)$. Ekkor

$$f^{\prime }\equiv 0(a,b)-\mathrm{n}⟺f\equiv \acute{\mathrm{a}}\mathrm{lland}\acute{\mathrm{o}}(a,b)-\mathrm{n}$$

2. Tegyük fel, hogy $f,g:(a,b)\to \mathbb{R}$ és $f,g\in D(a,b)$. Ekkor

$$f^{\prime }\equiv g^{\prime }(a,b)-\mathrm{n}⟺\exists c\in \mathbb{R},\forall x\in (a,b):f(x)=g(x)+c$$

Monotonitás

Az egyszerűség kedvéért csak intervallumon vizsgáljuk.

Az első derivált előjeléből következtethetünk a monotonitásra.

A monotonitás és a derivált kapcsolata

Legyen $(a,b)\subset \mathbb{R}$ egy nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f\in D(a,b)$. Ekkor

1. $f\nearrow [\mathrm{illetve}\searrow ](a,b)-\mathrm{n}⟺f^{\prime }\ge 0[\mathrm{illetve}{f}^{\prime }\le 0](a,b)-\mathrm{n}$
2. $f^{\prime }>0[\mathrm{illetve}{f}^{\prime }<0](a,b)-\mathrm{n}⟹f\uparrow [\mathrm{illetve}\downarrow ](a,b)-\mathrm{n}$

A lokális szélsőértékre vonatkozó elégséges feltételek

A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű elégséges tétel

Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$ és $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Tegyük fel, hogy

• $f\in D(a,b)$
• egy $c\in (a,b)$ pontban $f^{\prime }(c)=0$
• az $f^{\prime }$ deriváltfüggvény előjelet vált $c$-ben.

Ekkor:

1. Ha az $f^{\prime }$ függvény a $c$ pontban negatív értékből pozitív értékbe megy át, akkor $c$ az $f$ függvénynek lokális minimumhelye.
2. Ha az $f^{\prime }$ düggvény a $c$ pontban pozitív értékből negatív értékbe megy át, akkor $c$ az $f$ függvénynek lokális maximumhelye.

A lokális szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges tétel

Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$ és $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Tegyük fel, hogy

• $f$ kétszer deriválható egy $c\in (a,b)$ pontban, azaz $f\in D^2\{c\}$
• $f^{\prime }(c)=0$
• $f^{\prime \prime }(c)\ne 0$

Ekkor $c$ lokális szélsőértékhelye az $f$ függvénynek:

1. Ha $f^{\prime \prime }(c)>0$, akkor $f$-nek $c$-ben lokális minimuma van
2. Ha $f^{\prime \prime }(c)<0$, akkor $f$-nek $c$-ben lokális maximuma van

Források

• Jegyzet - pdf
• Bolzano-Weierstrass tétel