Speciális függvények

• Speciális függvények
  • Már elemzett speciális függvények
    • Exponenciális függvény
    • Logaritmus függvény
    • Hatványfüggvény
  • Trigonometrikus függvények
    • A sin és cos függvény
      • Szinusz és koszinusz monotonitásáról és konvexitásáról szóló tétel
      • A szinusz függvény
      • A koszinusz függvény
    • A tangens és kotangens függvény
  • Trigonometrikus függvények inverzei
  • Hiperbolikus függvények
  • Hiperbolikus függvények inverzei
    • Tétel
  • Források

Már elemzett speciális függvények

Analízis I tárgyból, már vizsgáltunk pár speciális függvényt, de a konvexitásukra a deriválás ismeretének hiányában nem tudtunk kitérni.

Exponenciális függvény

Az ${\exp }_a$ függvény szigorúan konvex $\mathbb{R}$-en, ha $a>0$ és $a\ne 1$. Ez abból következik, hogy minden $x\in \mathbb{R}$ esetén

$$({\exp }_a(x){)}^{\prime \prime }=({\exp }_a(x)\ln a{)}^{\prime }={\exp }_a(x){\ln }^{2}a>0$$

Ha $a=1$, akkor az ${\exp }_a\equiv 1$ lineáris függvény egyszerre konvex és konkáv $\mathbb{R}$-n, de nem szigorú értelemben.

Logaritmus függvény

A ${\log }_a$ függvény szigorúan konkáv $(0,+\infty )$-n, ha $a>0$, és szigorúan konvex $(0,+\infty )$-n, ha $0<a<1$, hiszen minden $x>0$ esetén

$$({\log }_a(x){)}^{\prime \prime }={\left(\frac{1}{x\ln a}\right)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2\ln a}$$

• $<0$, ha $a>1$
• $>0$, ha $0<a<1$

Mivel $\ln a>0$, ha $a>1$, illetve $\ln a<0$, ha $0<a<1$.

Hatványfüggvény

Az $x^{\alpha }$ függvény konvexitása is függ az $\alpha$ értékétől.

Minden $x>0$ esetén

(x^{\alpa})^{\prime\prime} = (\alpha x^{\alpha - 1})^{\prime} = \alpha(\alpha - 1)x^{\alpha - 2}

Tehát az $\alpha (\alpha -1)$ előjelén múlik a függvény konvexitása.

Ha $\alpha >1$ vagy $\alpha <0$, akkor $(x^{\alpha }{)}^{\prime \prime }>0$, és így az $x^{\alpha }$ függvény konvex $(0,+\infty )$-n.

Ha $0<\alpha <1$, akkor $(x^{\alpha }{)}^{\prime \prime }<0$, és így az $x^{\alpha }$ függvény konkáv $(0,+\infty )$-n.

Ha $\alpha =0$ vagy $\alpha =1$, akkor $x^{\alpha }$ lineáris függvény, azaz egyszerre konvex és konkáv $(0,+\infty )$-n, de nem szigorú értelemben.

Trigonometrikus függvények

A sin és cos függvény

$$\sin x:=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k+1)!}{x}^{2k+1}$$ $$\cos x:=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{(-1{)}^k}{(2k)!}{x}^{2k}$$

1. Paritás: a $\sin$ függvény páratlan, és a $\cos$ függvény páros, azaz $$\sin (-x)=-\sin x,\cos (-x)=\cos x$$

2. Addíciós képletek: minden $x,y\in \mathbb{R}$ esetén:

• $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$
• $\cos (x+y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y$

3. Két szinusz és koszinusz összege szorzattá alakítható

• (lsd.: jegyzet)

4. Minden $x\in \mathbb{R}$ esetén: $$\sin (2x)=2\sin x\cos x,\cos (2x)={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$$

5. Négyzetes összefüggés: $${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$$

6. Folytonosság: A $\sin$ és a $\cos$ függvény folytonos $\mathbb{R}$-en.

7. $\pi$ szám értelmezése: legyen $\xi$ a $\cos$ függvény egyetlen zérushelye a $[0,2]$ intervallumon. $$\pi :=2\xi$$

8. Az addíciós tételből a következő kapcsolat adódik: $$\sin x=\cos \left(x-\frac{\pi }{2}\right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right),\cos x=\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$$

9. Periodicitás: A $\sin$ és a $\cos$ függvény $2\pi$ szerint periodikus.

10. Differenciálhatóság: A $\sin$ és a $\cos$ függvény differenciálható $\mathbb{R}$-en és $${\sin }^{\prime }(x)=\cos (x),{\cos }^{\prime }(x)=-\sin (x)$$

Szinusz és koszinusz monotonitásáról és konvexitásáról szóló tétel

1. $\sin \uparrow [0,\frac{\pi }{2}]$-en, $\downarrow [\frac{\pi }{2},\pi ]$-n és szigorúan konkáv $[0,\pi ]$-n
2. $\cos \downarrow [0,\pi ]$-n, szigorúan konkáv $[0,\frac{\pi }{2}]$-en és szigorúan konvex $[\frac{\pi }{2}]$-n

A szinusz függvény

• $\downarrow [-\pi ,-\frac{\pi }{2}]$-en, $\uparrow [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$-en és $[\frac{\pi }{2},\pi ]$-n
• szigorúan konvex $[-\pi ,0]$-n
• $0$ inflexiós pont.

A koszinusz függvény

• $\uparrow [-\pi ,0]$-n és $\downarrow [0,\pi ]$-n

• szigorúan konvex $[-\pi ,-\frac{\pi }{2}]$-en

• szigorúan konkáv $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$-en

• szigorúan konvex $[\frac{\pi }{2},\pi ]$-n

• $\pm \frac{\pi }{2}$ inflexiós pontok

A tangens és kotangens függvény

$$\mathrm{tg}x:=\frac{\sin x}{\cos x}$$

1. $\mathrm{tg}$ páratlan függvény, azaz $\mathrm{tg}(-x)=-\mathrm{tg}x$
2. a $\mathrm{tg}$ függvény $\pi$ szerint periodikus
3. a $\mathrm{tg}$ függvény zérushelyei: $\mathrm{tg}x=0⟺\sin x=0⟺x=k\pi$
4. $\mathrm{tg}x=\mathrm{tg}y⟺\sin (x-y)=0⟺x=y+k\pi$
5. $\uparrow \left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$-en
6. szigorúan konkáv $\left(-\frac{\pi }{2},0\right]$-en
7. szigorúan konvex $\left[0,\frac{\pi }{2}\right)$-en
8. $0$ inflexiós pont
9. ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}+0}\mathrm{tg}x=-\infty$ és ${\lim }_{x\to \frac{\pi }{2}-0}\mathrm{tg}x=+\infty$

$$\mathrm{ctg}x:=\frac{\cos x}{\sin x}$$

1. páratlan
2. $\pi$ szerint periodikus
3. \arrowdown (0, \pi)-n
4. szigorúan konvex $\left(0,\frac{\pi }{2}\right]$-n
5. szigorúan konkáv $\left[\frac{\pi }{2},\pi \right)$-n
6. $\frac{\pi }{2}$ infleciós pont
7. ${\lim }_{x\to 0+0}\mathrm{ctg}x=+\infty$ és ${\lim }_{x\to \pi -0}\mathrm{ctg}x=-\infty$

Trigonometrikus függvények inverzei

$$\arcsin :={\left(\sin {|}_{[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]}\right)}^{-1}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\arcsin }=[-1,1],{\mathcal{R}}_{\arcsin }=[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$
2. folytonos $[-1,1]$-en
3. deriválható $(-1,1)$-en és ${\arcsin }^{\prime }x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
4. $\uparrow [-1,1]$-en
5. szigorúan konkáv $[-1,0]$-en
6. szigorúan konvex $[0,1]$-en
7. $0$ inflexiós pont

$$\arccos :={\left(\cos {|}_{[0,\pi ]}\right)}^{-1}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\arccos }=[-1,1],{\mathcal{R}}_{\arccos }=[0,\pi ]$
2. folytonos $[-1,1]$-en
3. deriválható $(-1,1)$-en és ${\arccos }^{\prime }x=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
4. $\downarrow [-1,1]$-en
5. szigorúan konvex $[-1,0]$-en
6. szigorúan konkáv $[0,1]$-en
7. $0$ inflexiós pont

$$\mathrm{arctg}:={\left(\mathrm{tg}{|}_{(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})}\right)}^{-1}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{arctg}}=\mathbb{R},{\mathcal{R}}_{\mathrm{arctg}}=\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$
2. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{arctg}}^{\prime }x=\frac{1}{1+x^2}$
3. $\uparrow \mathbb{R}$-en
4. szigorúan konvex $(-\infty ,0]$-n
5. szigorúan konkáv $[0,+\infty )$-en
6. $0$ inflexiós pont
7. $y=\pm \frac{\pi }{2}$ aszimptota a $(\pm \infty )$-ben

$$\mathrm{arcctg}:={\left(\mathrm{ctg}{|}_{(0,\pi )}\right)}^{-1}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{arcctg}}=\mathbb{R},{\mathcal{R}}_{\mathrm{arcctg}}=\left(0,\pi \right)$
2. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{arcctg}}^{\prime }x=-\frac{1}{1+x^2}$
3. $\downarrow \mathbb{R}$-en
4. szigorúan konkáv $(-\infty ,0]$-n
5. szigorúan konvex $[0,+\infty )$-en
6. $0$ inflexiós pont
7. $y=\pi$ aszimptota a $(-\infty )$-ben
8. $y=0$ aszimptota a $(+\infty )$-ben

Hiperbolikus függvények

$$\mathrm{sh}x:=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{sh}}=\mathbb{R},{\mathcal{R}}_{\mathrm{sh}}=\mathbb{R}$
2. páratlan függvény
3. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{sh}}^{\prime }x=\mathrm{ch}x$
4. $\uparrow \mathbb{R}$-en
5. szigorúan konkáv $(-\infty ,0]$-n
6. szigorúan konvex $[0,+\infty )$-en
7. $0$ inflexiós pont

$$\mathrm{ch}x:=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{x^{2k}}{(2k)!}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{ch}}=\mathbb{R},{\mathcal{R}}_{\mathrm{ch}}=[1,+\infty )$
2. páros függvény
3. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{ch}}^{\prime }x=\mathrm{sh}x$
4. $\downarrow (-\infty ,1)$-en és $\uparrow (0,+\infty )$-en
5. szigorúan konvex $\mathbb{R}$-n
6. $0$ abszolút minimumhely

$$\mathrm{th}x:=\frac{\mathrm{sh}x}{\mathrm{ch}x}$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{th}}=\mathbb{R},{\mathcal{R}}_{\mathrm{th}}=(-1,1)$
2. páratlan függvény
3. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{th}}^{\prime }x=\frac{1}{{\mathrm{ch}}^{2}x}$
4. $\uparrow \mathbb{R}$-en
5. szigorúan konvex $(-\infty ,0]$-n
6. szigorúan konkáv $[0,+\infty )$-en
7. $0$ inflexiós pont
8. $y=\pm 1$ aszimptota $(\pm \infty )$-ben

$$\mathrm{cth}x:=\frac{\mathrm{ch}x}{\mathrm{sh}x}(x\ne 0)$$

1. ${\mathcal{D}}_{\mathrm{cth}}=\mathbb{R}\setminus \{0\},{\mathcal{R}}_{\mathrm{cth}}=\mathbb{R}\setminus [-1,1]$
2. páratlan függvény
3. folytonos és deriválható $\mathbb{R}$-en és ${\mathrm{cth}}^{\prime }x=-\frac{1}{{\mathrm{sh}}^{2}x}(x\in \mathbb{R}\setminus \{0\})$
4. $\downarrow (-\infty 0)$-en és $\downarrow (0,+\infty )$-n
5. szigorúan konkáv $(-\infty ,0]$-n
6. szigorúan konvex $[0,+\infty )$-en
7. $y=\pm 1$ aszimptota $(\pm \infty )$-ben

Hiperbolikus függvények inverzei

$$\begin{gathered} arsh:={\mathrm{sh}}^{-1} \\ arch:={\left(\mathrm{ch}{|}_{[0,+\infty )}\right)}^{-1} \\ arth:={\mathrm{th}}^{-1} \\ arcth:={\mathrm{cth}}^{-1} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} ars{h}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \\ arc{h}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}},(x\in (1,+\infty )) \\ art{h}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},(x\in (-1,1)) \\ arct{h}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2},(|x|>1) \end{gathered}$$

Tétel

$$\begin{gathered} arshx=\ln x+\sqrt{x^2+1} \\ archx=\ln x+\sqrt{x^2-1},(x\in [1,+\infty ]) \\ arthx=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{1+x}{1-x}\right),(x\in (-1,1)) \\ arcthx=\frac{1}{2}\cdot \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right),(|x|>1) \end{gathered}$$

Források

Jegyzet - pdf