Differenciálszámítás I.

Differenciálszámítás I.

Emlékeztető a függvény határértékről

Most a legfontosabb határérték végesben vett véges határérték lesz.

$\forall ϵ > 0 - hoz \exists δ > 0, \forall x \in D_{f}, 0 < ∣ x - a ∣ < δ : ∣ f (x) - A ∣ < ϵ$

Határértéket torlódási pontban értelmezünk.

Derivált

Motiváció

Függvények töréspontjának elemzése
- Szelő meredeksége: $\frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$
- Ha $\exists lim_{h \to 0} \frac{f ( a + h ) - f ( a )}{h}$ , akkor a fügvvény deriválható $a$ pontban.
Pillanatnyi sebesség

Belső pont

Tegyük fel, hogy $\emptyset \neq = A \subset R$ Az $a \in A$ pont az $A$ halmaz belső pontja, ha $\exists K (a), hogy K (a) \subset A$

Az $int A$ sziombólummal jelöljük az $A$ halmaz belső pontjainak halmazát.

Derivált definíciója

Az $f \in R \to R$ függvény az $a \in int D_{f}$ pontban differenciálható, ha létezik és véges a $x \to a lim \frac{f ( x ) - f ( a )}{x - a}$ határérték.

Ezt a határértéket nevezzük az $f$ függvény $a$ pontbeli deriváltjának. ( $f^{'} (a)$ )
Ennek létezésének tényét következőképp fogjuk jelölni: $f \in D {a}$

A folytonosság és a deriválhatóság kapcsolata

Tegyük fel, hogy $f \in R \to R$ és $a \in int D_{f}$ ekkor:

$f \in D {a} ⟹ f \in C {a}$
Az állítás fordítva nem igaz.

Az $f \in R \to R$ függvény grafikonjának az $(a, f (a))$ pontban van érintője, ha $f \in D {a}$ . Az $f$ függvény grafikonjának $(a, f (a))$ pontbeli érintőjén az $y = f^{'} (a) \cdot (x - a) + f (a)$ egyenletű egyenest értjük.

Deriválási szabályok

$(f + g)^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$
$(c \cdot f)^{'} (x) = c \cdot f^{'} (x), (c \in R)$
$(x^{α})^{'} = α \cdot x^{α - 1}$
$c^{'} = 0, (c \in R)$
$(a^{x})^{'} = ln (a) \cdot a^{x}$
$(e^{x})^{'} = e^{x}$
$(f \cdot g)^{'} (x) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$
$(\frac{f}{g})^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{g ^{2} ( x )}$
$(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$ , ha $g \in D {x}, f \in D {g (x)}$
$(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( a )}$ , ha $f^{'} (a) \neq = 0$
$sin^{'} x = cos x$
$cos^{'} x = - sin x$

Inverz függvény deriváltja

Legyen $I$ egy nyílt intervallum, és $f : I \to R$ . Tegyük fel, hogy:

$f$ szigorúan monoton és folytonos az $I$ intervvalumon,
valamilyen $a \in I$ pontban $f \in D {a}$ és $f^{'} (a) \neq = 0$

Ekkor az $f^{- 1}$ függvény deriválható a $b = f (a)$ pontban, és $(f^{- 1})^{'} (b) = \frac{1}{f ^{'} ( a )} = \frac{1}{f ^{'} ( f ^{- 1} ( b ))}$

Hatványsor összegfüggvényének deriváltja

Legyen $a \in R$ és $α_{n} \in R, (n = 0, 1, \dots)$ . Tegyük fel, hogy $n = 0 \sum α_{n} (x - y)^{n}, (x \in R)$ hatványsor $R$ konvergenciasugara pozitív, és jelölje $f$ az összegfüggvényt: $f (x) : = n = 0 \sum + \infty α_{n} (x - a)^{n}, (x \in K_{R} (a))$ Ekkor minden $x \in K_{R} (a)$ pontban $f \in D {x}$ és $f^{'} (x) = n = 1 \sum + \infty n α_{n} (x - a)^{n - 1}, (x \in K_{R} (a))$

Derivált függvény

Ha $f \in R \to R$ és ${x \in int D_{f} ∣ f \in D {x}} \neq = \emptyset$ , akkor az

${x \in int D_{f} ∣ f \in D {x}} ∋ x \to f^{'} (x)$

függvényt az $f$ deriváltfüggvénynek nevezzük, és az $f^{'}$ szimbolummal jelöljük.

4. félévi jegyzetek