${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvényekre vonatkozó másodrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre

Kimondás

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+}),a\in \int {\mathcal{D}}_f$ és $f\in C^2\{a\}$. Ha az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális minimuma (maximuma) van, akkor

• $f^{\prime }(a)=0$
• az $f^{\prime \prime }(a)$ Hesse-féle mátrix pozitív (negatív) szemidefinit.

Bizonyítás

Az elsőrendű szükséges feltétel miatt $f^{\prime }(a)=0$. A Hesse-féle mátrixszal kapcsolatos állítás igazolásához tegyük fek, hogy $f$-nek az $a$ pontban lokális minimuma van (lokális maximum esetén hasonlóan igazolható). Így $\exists K(a)$ környezet, hogy $f(x)-f(a)\ge 0$ minden $x\in K(a)$ esetén. Rögzítsünk egy tetszőleges $h\in {\mathbb{R}}^n$ pontot. Ekkor $$\exists r>0,\forall t\in (-r,r):a+th\in K(a)$$

A Peano-féle maradéktagos Taylor formula szerint vaon olyan $ϵ\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$, a ${\lim }_0ϵ=0$ feltételnek eleget tevő függvény, hogy $$f(a+h)=f(a)+⟨f^{\prime }(a),h⟩+\frac{1}{2}⟨f^{\prime \prime }(a)\cdot h,h⟩+ϵ(h)\Vert h{\Vert }^2(h\in {\mathbb{R}}^n,a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

Ha $f^{\prime }(a)=0$ és $Q(h):=⟨f^{\prime \prime }(a)\cdot h,h⟩$ akkor a fenti egyenletből: $$f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}Q(h)+ϵ(h)\cdot \Vert h{\Vert }^2(h\in {\mathbb{R}}^n,a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

ezért $$\begin{gathered} 0\le f(a+th)-f(a)=\frac{1}{2}Q(th)+ϵ(th)\cdot \Vert th{\Vert }^2=\frac{t^2}{2}Q(h)+ϵ(th)\cdot t^2\cdot \Vert h{\Vert }^2= \\ =\left(\frac{1}{2}Q(h)+ϵ(th)\cdot \Vert h{\Vert }^2\right)\cdot t^2,\mathrm{ahol}\underset{t\to 0}{\lim }ϵ(th)=0 \end{gathered}$$

Ekkor $$0\le \frac{1}{2}Q(h)+ϵ(th)\cdot \Vert h{\Vert }^2\stackrel{t\to 0}{⟹}Q(h)\ge 0$$

Ez azt jelenti, hogy a $Q$ kvadratikus alak, illetve az $f^{\prime \prime }(a)$ mátrix pozitív szemidefinit.