Többváltozós függvénytan I

• Többváltozós függvénytan I
  • Konvergencia az ${\mathbb{R}}^n$ euklideszi térben
    • Tétel
    • Cauchy féle konvergenciakritérium
    • Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel
  • ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ típusú függvények folytonossága
    • Folytonosságra vonatkozó átviteli elv
    • Tétel
    • Weierstrass tétele
  • ${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ típusú függvények határértéke
    • A határértékre vonatkozó átviteli elv
    • Tétel
  • Források

Konvergencia az ${\mathbb{R}}^n$ euklideszi térben

Az $x:\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^n$ függvényt ${\mathbb{R}}^n$-beli sorozatnak nevezzük. Az $$x(k)=:x_k(k\in \mathbb{N})$$ helyettesítési érték a sorozat k-adik vagy k-indexű tagja. A tag sorszámát jelző szám a tag indexe.

Legyen $1\le n\in \mathbb{N}$. Azt mondjuk, hogy az ${\mathbb{R}}^n$ euklideszi tér $(x_k):\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^n$ sorozata konvergens, ha $$\exists A\in {\mathbb{R}}^n\acute{\mathrm{u}}\mathrm{gy},\mathrm{hogy}\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists k_0\in \mathbb{N},\forall k>k_0:||x_k-A||<ϵ$$ Ha $A$ létezik, akkor az egyértelmű, és $A$-t az $(x_k)$ sorozat határértékének nevezzük. Az $(x_k)$ sorozat divergens, ha nem konvergens.

Tétel

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$. Egy ${\mathbb{R}}^n$-beli sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátasorozata konvergens, és a határértéke a határvektor megfelelő koordinátája, azaz $${\mathbb{R}}^n\ni x_k=(x_k^{(1)},x_k^{(2)}),\dots ,x_k^{(n)}\to A=(A^{(0)},A^{(2)},\dots ,A^{(n)}),\mathrm{ha}k\to +\infty$$ pontosan akkor ogaz, ha minden $i=1,2,\dots ,n$ koordinátára $$x_k^{(i)}\to A^{(i)},\mathrm{ha}k\to +\infty$$

Cauchy féle konvergenciakritérium

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ Az ${\mathbb{R}}^n$ euklideszi tér $(x_k)$ sorozata akkor és csak akkor konvergens, ha $(x_k)$ Cauchy-sorozat, azaz $$\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists k_0\in \mathbb{N},\forall k,l>k_0:||x_k-x_l||<ϵ$$

Bolzano-Weierstrass kiválasztási tétel

Az ${\mathbb{R}}^n(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ euklideszi térben minden korlátos sorozatnak van konvergens részsorozata.

${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ típusú függvények folytonossága

Azt mondjuk, hogy az $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvény folytonos az $a\in {\mathcal{D}}_f$ pontban, ha $$\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists \delta >0,\forall x\in {\mathcal{D}}_f,||x-a||<\delta :||f(x)-f(a)||<ϵ$$

Folytonosságra vonatkozó átviteli elv

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $a\in {\mathcal{D}}_f$. Ekkor $$f\in C\{a\}⟺\forall (x_k):\mathbb{N}\to {\mathcal{D}}_f,\underset{k\to +\infty }{\lim }{x}_k=a\mathrm{eset}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{n}\underset{k\to +\infty }{\lim }f(x_k)=f(a)$$

Tétel

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ és a \in \mathxal{D}_f. Ekkor $$f\in C\{a\}⟺f_i\in C\{a\}(i=1,2,\dots ,m)$$ ahol $f_i:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R}$ az $f$ függvény koordinátafüggvényei.

Weierstrass tétele

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ és tegyük fel, hogy

1. $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$
2. ${\mathcal{D}}_f$ korlátos és zárt halmaz az ${\mathbb{R}}^n$ euklideszi térben
3. $f\in C$ Ekkor az $f$ függvénynek vannak abszolút szélsőértékhelyei, azaz \eixsts x_1 \in \mathcal{D}_f, \ \forall x \in \mathcal{D}_f : f(x) \leq f(x_1) \eixsts x_2 \in \mathcal{D}_f, \ \forall x \in \mathcal{D}_f : f(x_2) \leq f(x)

${\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ típusú függvények határértéke

Az $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvények az $a\in {\mathcal{D}}_f^{\prime }$ pontban van határértéke, ha $\exists A\in {\mathbb{R}}^m$, hogy $$\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists \delta >0,\forall x\in {\mathcal{D}}_f,0<||x-a||<\delta :||f(x)-A||<ϵ$$ Ekkor $A$-t a függvény $a$ pontbeli határértékének nevezzük.

A határértékre vonatkozó átviteli elv

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m,\in {\mathbb{N}}^{+})$ és a \in \matcal{D}_f^{\prime}. Ekkor $$\underset{a}{\lim }f=A\in {\mathbb{R}}^m⟺\forall (x_k):\mathbb{N}\to {\mathcal{D}}_f\setminus \{a\},\lim k\to +\infty (x_k)=a\mathrm{eset}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{n}\underset{k\to +\infty }{\lim }f(x_k)=A$$

Tétel

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $a\in {\mathcal{D}}_f\cap {\mathcal{D}}_f^{\prime }$ Ekkor $$f\in C\{a\}⟺\exists \underset{a}{\lim }f\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\underset{a}{\lim }f=f(a)$$

Források

• Jegyzet