A monotonitás és a derivált kapcsolata

Kimondás

Legyen $(a,b)\subset \mathbb{R}$ egy nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f\in D(a,b)$. Ekkor

1. $f\nearrow [\mathrm{illetve}\searrow ](a,b)-\mathrm{n}⟺f^{\prime }\ge 0[\mathrm{illetve}{f}^{\prime }\le 0](a,b)-\mathrm{n}$
2. $f^{\prime }>0[\mathrm{illetve}{f}^{\prime }<0](a,b)-\mathrm{n}⟹f\uparrow [\mathrm{illetve}\downarrow ](a,b)-\mathrm{n}$

Bizonyítás

1. $⟹$ Ha $f\nearrow (a,b)$-n és $f\in (a,b)$ egy tetszőleges pont, akkor $$\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\ge 0(t<x<b)$$

hiszen $x-t>0$ és a monotonitás miatt $f(x)-f(t)\ge 0$. Mivel $f\in D\{t\}$, így $$f^{\prime }(t)=f_{+}^{\prime }(t)=\underset{x\to t+0}{\lim }\frac{f(x)-f(t)}{x-t}\ge 0$$

$⟸$ Ha $\forall x\in (a,b):f^{\prime }(x)\ge 0$, akkor legyen $x,y\in (a,b),x<y$ két tetszőleges pont.
Ekkor $f\in C[x,y],f\in D(x,y)$, és így a Langrange-féle középértéktétel szerint $$\exists \xi \in (x,y):\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=f^{\prime }(\xi )\ge 0⟹f(x)\le f(y)$$

Ezért $f\nearrow (a,b)$-n.

Az állítás hasonlóan igazolható monoton csökkenő függvények esetében is.

2. Alkalmazzuk az "éles" egyenlőtlenségeket 1.-ben a $⟸$ irányban.