Többváltozós függvények deriválása III

• Többváltozós függvények deriválása III
  • Az inverzfüggvény-tétel
  • Implicit függvények
    • Egyváltozós implicitfüggvény-tétel
    • Implicitfüggvény-tétel az általános esetben
  • ${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ típusú függvények feltételes szélsőértékei
    • Szükséges feltétel a feltételes lokális szélsőértékre
    • Feltételes lokális szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges feltétel
  • Források

Az inverzfüggvény-tétel

Legyen $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ nyílt halmaz és $f:\Omega \to {\mathbb{R}}^n$. Tegyük fel, hogy

1. $f$ folytonosan deriválható $\Omega$-n
2. az $a\in \Omega$ pontban $\det f^{\prime }(a)\ne 0$

Ekkor

1. $f$ lokálisan invertálható az $a$ pontban, azaz vannak olyan $a\in U$ és $f(a)\in V$ nyílt halmazok, hogy az $f{|}_u:U\to V$ függvény bijekció (következésképpen invertálható)
2. az $f^{-1}$ inverz függvény folyamatosan deriválható $V$-n és $$(f^{-1}{)}^{\prime }(y)={\left[f^{\prime }(f^{-1}(y))\right]}^{-1}(y\in V)$$

Implicit függvények

Egyváltozós implicitfüggvény-tétel

Legyen $\Omega \subset {\mathbb{R}}^n$ nyílt halmaz és $f:\Omega \to R$. Tegyül fel, hogy

1. $f$ folyamatosan deriválható $\Omega$-n
2. az $(a,b)\in \Omega$ pontban $f(a,b)=0$ és ${\partial }_{2}f(a,b)\ne 0$

Ekkor

1. van olyan $U:=K(a)$ környezet és $b\in V$ nyílt halmaz $\mathbb{R}$-ben, hogy minden $x\in U$ ponthoz létezik egyetlen $\phi (x)\in V$, amelyre f(x, \varhi(x)) = 0 teljesül
2. az így definiált $\phi :U\to V$ függvény folytonosan deriválható $U$-n és

$${\phi }^{\prime }(x)=-\frac{{\partial }_{1}f(x,\phi (x))}{{\partial }_{2}f(x,\phi (x))}(x\in U)$$

Implicitfüggvény-tétel az általános esetben

Legyenek ${\Omega }_1\subset {\mathbb{R}}^{n_1}$ és ${\Omega }_2\subset {\mathbb{R}}^{n_2}$ nyílt halmazok $(n_1,n_2\in {\mathbb{N}}^{+})$, illetve $f:{\Omega }_1\times {\Omega }_2\to {\mathbb{R}}^{n_2}$. Tegyük fel, hogy

1. $f$ folytonosan deriválható az ${\Omega }_1\times {\Omega }_2$ halmazon
2. az $(a,b)\in {\Omega }_1\times {\Omega }_2$ pontban $f(a,b)=0$ és $\det {\partial }_{2}f(a,b)\ne 0$

Ekkor

1. létezik $a$-nak olyan $U:=K(a)\subset {\Omega }_1$ környezet és $b\in V\subset {\Omega }_2$ nyílt halmaz, hogy minden $x\in U$ ponthoz létezik egyetlen $\phi (x)\in V$, amelyre $f(x,\phi (x))=0\in {\mathbb{R}}^{n_2}$
2. az így definiált $\phi :U\to V$ függvény folytonosan deriválhatü $U$-n és $${\phi }^{\prime }(x)=-{\left[{\partial }_{2}f(x,\phi (x))\right]}^{-1}\cdot {\partial }_{1}f(x,\phi (x))(x\in U)$$

${\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ típusú függvények feltételes szélsőértékei

Legyen $U\in {\mathbb{R}}^2$ nyílt halmaz. Tegyük fel, hogy $f,g:U\to R$ adott függvények és $$a\in H_g:=\left\{(x,y)\in U|g(x,y)=0\right\}\ne \varnothing$$

Azt mondjuk, hogy az $f$ függvénynek a $g=0$ feltétel mellett az $a$ pontban

• feltételes abszolút maximuma van, ha $$\forall x\in H_g:f(x)\le f(a)$$
• feltételes lokális maximuma van, ha $$\exists K(a)\in U,\forall x\in K(a)\cap H_g:f(x)\le f(a)$$

Szükséges feltétel a feltételes lokális szélsőértékre

Tegyük fel, hogy

1. $U\in {\mathbb{R}}^2$ nyílt halmaz és az $f,g:I\to \mathbb{R}$ függvényeknek léteznek a parciális deriváltjaik, és ezek folytonosak az $U$ halmazon (f,g \in \C^1(U))
2. az $(x_0,y_0)\in U$ pontban az $f$ függvénynek a $g=0$ feltételre vonatkozóan feltételes lokális szélsőértéke van.
3. $g^{\prime }(x_0,y_0)=({\partial }_{1}g(x_0,y_0){\partial }_{2}g(x_0,y_0))\ne (00)$ Ekkor can olyan $\lambda \in \mathbb{R}$ valós szám (Lagrange-szorzó), hogy az $$\mathcal{L}(x,y):=f(x,y)+\lambda g(x,y)((x,y)\in U)$$ Lagrange-függvénynek $(x_0,y_0)$ stacionárius pontja, azaz $${\mathcal{L}}^{\prime }(x_0,y_0)=({\partial }_x\mathcal{L}(x_0,y_0){\partial }_y\mathcal{L}(x_0,y_0))=(00)$$

Feltételes lokális szélsőértékre vonatkozó másodrendű elégséges feltétel

Tegyük fel, hogy

1. $U\subset {\mathbb{R}}^2$ nyílt halmaz és az $f,g:U\to \mathbb{R}$ függvényeknek léteznek másodrendű parciális deriváltjaik és ezek folytonosak az $U$ halmazon.
2. az $(x_0,y_0)\in U$ pontban a ${\lambda }_0\in \mathbb{R}$ számmal teljesül a szükséges feltétel.

Tekintsül ezzel a \lamba_0 számmal az $$\mathcal{L}(x,y):=f(x,y)+{\lambda }_{0}g(x,y)((x,y)\in U)$$ Lagrange-függvényt. Legyen

$$D(x_0,y_0;{\lambda }_0):=\det \left(\begin{array}{ccc}0& {\partial }_{1}g(x_0,y_0)& {\partial }_{2}g(x_0,y_0)\\ {\partial }_{1}g(x_0,y_0)& {\partial }_{11}\mathcal{L}(x_0,y_0)& {\partial }_{12}\mathcal{L}(x_0,y_0)\\ {\partial }_{2}g(x_0,y_0)& {\partial }_{21}\mathcal{L}(x_0,y_0)& {\partial }_{22}\mathcal{L}(x_0,y_0)\end{array}\right)$$

Ekkor

• $D(x_0,y_0;{\lambda }_0)>0⟹(x_0,y_0)$ feltételes lokális maximumhely
• $D(x_0,y_0;{\lambda }_0)<0⟹(x_0,y_0)$ feltételes lokális minimumhely

Források

• Jegyzet