Az integrálfüggvény folytonossága

Kimondás

Legyen $f\in R[a,b],x_0\in [a,b]$ és $F$ az $f$ függvény $x_0$ pontban eltűnő integrálfüggvénye.
Ekkor $F\in C[a,b]$.

Bizonyítás

Mivel $f\in R[a,b]$, ezért az $f$ korlátos függvény, így $\exists K>0$, hogy $$|f(x)|\le K(x\in [a,b])$$

Legyen $x\in [a,b]$ egy tetszőleges pont és $(x_n):\mathbb{N}\to [a,b]$ olyan sorozat, hogy $\lim (x_n)=x$.

Tegyük fel, hogy $x_n\ge x(n\in \mathbb{N})$. Ekkor a határozott integrál tulajdonságai alapján $$\begin{gathered} \left|F(x_n)-F(x)\right|=\left|{\int }_{x_0}^{x_n}f(t)dt-{\int }_{x_0}^{x}f(t)dt\right|=\left|{\int }_x^{x_n}f(t)dt\right|\le {\int }_x^{x_n}|f(t)|dt\le {\int }_x^{x_n}Kdt= \\ =K(x_n-x)\to 0,\mathrm{azaz}F(x_n)\to F(x),\mathrm{ha}n\to +\infty \end{gathered}$$

Ezért az átviteli elv szerint $F$ jobbról folytonos az $x$ pontban. Hasonlóan igazolható, hogy $F$ balról folytonos az $x$ pontban.