${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvényekre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $a\in \int {\mathcal{D}}_f$. Továbbá

• $f\in D\{a\}$ és
• az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális szélsőértéke van.

Ekkor $f^{\prime }(a)=0$, azaz $f^{\prime }(a)=({\partial }_{1}f(a){\partial }_{2}f(a)\dots {\partial }_{n}f(a))=(00\dots 0)$.

Bizonyítás

Legyen $i=1,2,\dots ,n$ rögzített és tekintsük meg a $$G_i(t)=f(a_1,\dots ,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots ,a_n)(t\in K(a_i))$$ valós-valós parciális függvényt! Ekkor

• ha $f\in D\{a\}$, akkor $\exists {\partial }_{i}f(a)$, és azt is tudjuk, hogy $G_i\in D\{a_i\}$ és ${\partial }_{i}f(a)(G_i^{\prime }(a_i))$.
• ha $f$-nek az $a$ pontban lokális szélsőértéke van, akkor $\exists r>0$, hogy $f$-nek az $a$ pontban abszolút szélsőértéke van a $K_r(a)$ környezetben. Azonban $$\forall t\in (a_i-r,a_i+r):(a_1,\dots ,a_{i-1},t,a_{i+1},\dots ,a_n)\in K_r(a)$$ ami azt jelenti, hogy $G_i$-nek az $a_i$ pontban abszolút szélsőértéke can az $(a_i-r,a_i+r)$ környezetben, azaz $G_i$-nek az $a_i$ pontban lokális szélsőértéke van.

Ekkor a valós-valós függvényeknél tanult, a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel szerint $G_i^{\prime }(a_i)=0$, ami éppen azt jelenti, hogy ${\partial }_{i}f(a)=0$