A lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltétel

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és

1. $f\in D\{a\}$ valamilyen $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$-ben,
2. $f$-nek $a$-ban lokális szélsőértéke van.

Ekkor $f^{\prime }(a)=0$

Bizonyítás

Tegyük fel, hogy az $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$ pont lokális maximumhelye az $f\in D\{a\}$ függvénynek. Ekkor $$\exists r>0,\forall x\in (a-r,a+r):f(x)\le f(a)$$

Tekintsünk az $f$ függvény $a$-hoz tartozó különbséghányados-függvényét: $$(1)\frac{f(x)-f(a)}{x-a}(x\in {\mathcal{D}}_f\{a\})$$

Ha $a<x<a+r$, azaz $x-a>0$, akkor $f(x)\le f(a)$ (vagyis $f(x)-f(a)\le 0$) miatt $(1)$-ben szereplő különbséghányados nem pozitív. Mivel $f\in D\{a\}$, ezért $$f^{\prime }(a)f_{+}^{\prime }(a)=\underset{x\to a+0}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0$$

Ha $a-r<x<a$, azaz $x-a<0$, akkor $f(x)\le f(a)$ (vagyis $f(x)-f(a)\le 0$) miatt $(1)$-ben szereplő különbséghányados nem negatív. Mivel $f\in D\{a\}$, ezért $$f^{\prime }(a)f_{-}^{\prime }(a)=\underset{x\to a-0}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\ge 0$$

Azt kaptuk tehát, hogy $f^{\prime }(a)\le 0$ és $f^{\prime }(a)\ge 0$, ami csak úgy lehetséges, ha $f^{\prime }(a)=0$.

A bizonyítás hasonló akkor is, ha az $a\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_f$ pont lokális minimumhelye as $f$ függvénynek.