Egy vektorsorozat és koordinátasorozatai konvergenciájának kapcsolata

Kimondás

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$. Egy ${\mathbb{R}}^n$-beli sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha a sorozat minden koordinátasorozata konvergens, és a határértéke a határvektor megfelelő koordinátája, azaz

$${\mathbb{R}}^n\ni x_k=\left(x_k^{(1)},x_k^{(2)},\dots ,x_k^{(n)}\right)\to A=\left(A^{(1)},A^{(2)},\dots A^{(n)}\right),\mathrm{ha}k\to +\infty$$

pontosan akkor igaz, ha minden $i=1,2,\dots ,n$ koordinátára $$x_k^{(i)}\to A^{(i)},\mathrm{ha}k\to +\infty$$

Bizonyítás

$⟹$ Tegyük fel, hogy ${\lim }_{k\to +\infty }{x}_k=A$, azaz ${\lim }_{k\to +\infty }\Vert x_k-A\Vert =0$.
Rögzítsük az $i=1,2,\dots ,n$ indexet. Mivel $$0\le \left|x_k^{(i)}-A^{(i)}\right|\le \sqrt{\sum _{j=1}^n{\left|x_k^{(j)}-A^{(j)}\right|}^2}=\Vert x_k-A\Vert \to 0,\mathrm{ha}k\to +\infty$$ ezért a közrefogási elv szerint ${\lim }_{k\to +\infty }\left|x_k^{(i)}-A^{(i)}\right|=0$, azaz ${\lim }_{k\to +\infty }{x}_k^{(i)}=A^{(i)}$

$⟸$ Tegyük fel, hogy minden $i=1,2,\dots ,n$ indexre ${\lim }_{k\to +\infty }{x}_k^{(i)}=A^{(i)}$, azaz ${\lim }_{k\to +\infty }|x_k^{(i)}-A^{(i)}|=0$ Ekkor az $$0\le \Vert x_k-A\Vert =\Vert x_k-A{\Vert }_2\le \Vert x_k-A{\Vert }_1=\sum _{i=1}^n\left|x_k^{(i)}-A^{(i)}\right|\to 0,\mathrm{ha}k\to +\infty$$ egyenlőtlenség és a közrefogási elv alkalmazásával az kapjuk, hogy $\Vert x_k-A\Vert \to 0$ ha $k\to +\infty$, azaz ${\lim }_{k\to +\infty }{x}_k=A$.