Koordináta-rendszerek, egyenesek és síkok

Koordináta-rendszerek, egyenesek és síkok

Alapfogalmak

Hogyan írjuk le a virtuális világunkat?

A virtuális terünk egy pontját miként adjuk meg, hogyan tároljuk a számítógépen?
$\to$ Koordináta-rendszerek
Az egyszerű geometriai komponenseket hogyan adjuk meg?
$\to$ Pontok halmaza
$\to$ leírás különböző koordináta-rendszerekben

Pontok, vektorok

Pont: az euklideszi sík/tér egy eleme, amelynek semmiféle kiterjedése sincs.

Vektor:

algebrailag: egy vektortér eleme
geometriailag: egy eltolás, aminek iránya és hossza van
műveletei: összeadás, kivonás, skalárral szorzás, vektorális szorzat, skaláris szorzat

Vektororok összeadása

Legyen két vektor: $a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}], b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$ .
Ekkor $a + b = [a_{x} + b_{x}, a_{y} + b_{y}, a_{z} + b_{z}]$

Vektororok kivonása

Legyen két vektor: $a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}], b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$ .
Ekkor $a - b = [a_{x} - b_{x}, a_{y} - b_{y}, a_{z} - b_{z}]$

Vektor szorzata skalárral

Legyen a vektor: $a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}]$ .
Ekkor $a \cdot k = [k \cdot a_{x}, k \cdot a_{y}, k \cdot a_{z}]$

Vektororok skaláris szorzata

Legyen két vektor: $a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}], b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$ és jelölje $⟨ a, b ⟩$ a skaláris szorzatukat.
Ekkor $⟨ a, b ⟩ = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z}$

Ez kifejezhető úgy is, hogy $⟨ a, b ⟩ = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos (α)$ , ahol $α$ az $a$ és $b$ vektorok által bezárt szög.

Vektororok vektorális szorzata

Legyen két vektor: $a = [a_{x}, a_{y}, a_{z}], b = [b_{x}, b_{y}, b_{z}]$ és jelölje $a \times b$ a vektorális szorzatukat.
Ekkor $∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣∣ b ∣ sin α$

A vektorális szorzat kifelyezhető determinánsal is:

$a_{x} a_{y} a_{z} \times b_{x} b_{y} b_{z} = i a_{x} b_{x} j a_{y} b_{y} k a_{z} b_{z} = i \cdot a_{y} b_{y} a_{z} b_{z} - j \cdot a_{x} b_{x} a_{z} b_{z} + k \cdot a_{x} b_{x} a_{y} b_{y} = a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} - a_{x} b_{z} + a_{z} b_{x} a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}$

Egy pont és egy vektor is a választott koordináta-rendszerbeli koordinátáinak megadásával definiálható.

Műveletek pontok és vektorok között

pont $+$ vektor $=$ pont $\to$ pont eltolása
pont $-$ pont $=$ vektor $\to$ különbségvektor
pont $+$ pont $\to$ nincs értelmezve!

Ha pontokat, egyeneseket és síkokat veszünk, akkor ezeket különbözőnek tekintjük.

Jelölések

Pontok: $a \in E^{2}, b \in E^{3}, \dots$
Vektorok: $v \in R^{n}, n = 2, 3, \dots$
- $[v]_{0} \in R^{n}$ olyan vektor, amely egység hosszú
Egyenesek: $e, f, g, \dots$
Síkok: $S, \dots$
Mátrixok: $M \in R^{n \times m}$

Koordináta-rendszerek

A tér pontjainak egyértelmű leírására szám n-esek segítségével. pl.: $p = x y z \in E^{3}$

Lehetővé teszi az algebrai és analitikus eszköztár felhasználását geometriai problémák megoldására.

Egy, a problémához jól illeszkedő koordináta-rendszerben a probléma leírása egyszerűbb lehet.

Descartes koordináta-rendszer

Az euklidészi tér minden véges pontjához egyértelműen hozzárendel egy rendezett, valós $(x, y, z)$ számhármast.

A térben derékszögű koordináta-rendszert határoz meg egy kezdőpont (origó), és egy ortonormál bázis: három egymásra páronként merőleges egységvektor.

Ekkor egy $p$ pont $x, y, z$ koordinátái sorban az origóból a $p$ -be mutató vektor $i, j, k$ bázisvektorokra vett előjeles merőleges vetületével egyezik meg. (skaláris szorzat)

Vagyis a fenti értelmezés szerint, felhasználva az egységnyi hosszú, koordinátatengelyek irányába mutató $i, j, k$ bázisvektorokat, az $[a, b, c]^{T}$ koordináták a következő pontot azonosítják:

$p = o + ai + bj + c k = o + a 100 + b 010 + c 001$

Sodrásirány (orientation)

Bal-, és jobbkéz szabály

Sodrásirány

Két pont távolsága

$a, b \in E^{n} : d = ⟨ b - a, a - b ⟩ = i = 1 \sum n (b_{i} - a_{i})^{2}$

Vektor hossza

$v \in R^{n} : ∣∣ v ∣ ∣_{2} = ⟨ v, v ⟩ = i = 1 \sum n v_{i}^{2}$

( $∣∣ v ∣ ∣_{2}$ jelölés jelentése)

Polárkoordináta-rendszer

Egy $o$ kezdőpont (referenciapont) és egy abból induló félegyenes (polártengely) határozza meg.

Egy $p$ pont helyét két adat azonosítja: $(r, θ)$ :

$r \geq 0$ : a $p$ pont $o$ -tól vett távolsága
$θ \in [0, 2 π)$ : az $o$ -ból induló $p$ -n átmenő félegyenes polártengellyel bezárt szöge

Általában akkor használjuk, ha az ábrázolni kívánt dolgokhoz jól illeszkedik, pl. körmozgás.
Hátrányai: egyik PKR-ből másikba áttérni költséges, deriváltak számítása szükséges.

Gömbi koordináták

Térbeli polár-koordináták; meghatározza egy alapsík (és annak PKR-r) illetve egy arra merőleges " $Z$ tengely".

Egy térbeli p pontot három adat reprezentál: $(r, θ, ϕ)$

$(ϱ, ϕ)$ : a $p$ pont alapsíkra vett vetületének polárkoordinátái
$θ \in [0, π]$ : az $o$ -ból kiinduló és $p$ -n áthaladó félegyenes $Z$ tengellyel bezárt szöge
$r$ : a $p$ pont és az origó távolsága. (ha $r = 0$ akkor bármi lehet a két polárszög, konverziók előtt ellenőrizni kell)

Konverziók

Ha a Descartes origó és a polár referenciapont, illetve a Descartes x-tengely és a polártengely megegyezik:

Polár $\to$ Descartes: $(r, θ) \to (x, y)$
- $x = r \cdot cos θ$
- $y = r \cdot sin θ$
Descartes $\to$ Polár: $(x, y) \to (r, θ)$
- $r = x^{2} + y^{2}$
- $θ = a t an 2 (y, x)$
  - atan2

Ha $x = 0, y = 0$ , akkor $r = 0$ és emellett tetszőleges szöggel visszakapjuk az origót. Nem egyértelmű a polár szög, az $r = 0$ -át még azelőtt ellenőrizzük, hogy a fenti konverziós képleteket próbálnánk használni.

A síknál látottakhoz hasonló feltételek mellett:

Gömbi $\to$ Descartes: $(r, θ, ϕ) \to (x, y, z)$
- $x = r \cdot sin θ \cdot cos ϕ$
- $y = r \cdot sin θ \cdot sin ϕ$
- $z = r \cdot cos θ$
Descartes $\to$ Gömbi: $(x, y, z) \to (r, θ, ϕ)$
- $r = x^{2} + y^{2} + z^{2}$
- $ϕ = a t an 2 (y, x)$ , ha $r \neq = 0$
- $θ = arccos \frac{z}{r}$ , ha $r \neq = 0$

Baricentrikus koordináták

Sokszor egy konkrét, véges része érdekes csak számunkra a térnek. Ennek Descartes-félénél egy "kiegyensúlyozottabb" reprezentációját keressük.

A baricentrikus koordináták nem függnek egy pont önkényes orígónak választásától.

Tömegközéppont

Mechanikai analógia: pontrendszer tömegközéppontja

Legyen a síkban 3 pontunk és helyezzünk minden $p_{i}$ pontba $m_{i} \in R$ súlyt.
Ekkor a tömegközéppont:

$m = i = 0 \sum 2 \frac{m _{i}}{\sum _{i = 0}^{n} m _{i}} p_{i}$

Homogén jellegű megadás: egy $h \neq = 0$ számmal megszorozva a súlyokat is ugyanazt a pontot kapjuk.

Ha $E^{n}$ -ben az $a_{0}, \dots, a_{n}$ pontok kifeszítik a teret (azaz nem esnek egy $n - 1$ dimenziós altérbe), akkor a tér bármely $x$ pontjához egyértelműen találhatóak $λ_{0}, \dots, λ_{n}$ valós számok úgy, hogy

$x = i = 0 \sum n λ_{i} a_{i}$

(lineáris kombináció)

ahol a $λ_{i}$ baricentrikus koordinátákra teljesül, hogy

$i = 0 \sum n λ_{i} = 1$

(mivel $λ_{0}, \dots, λ_{n}$ súlyok)

Síkban tehát 3 általános állású pont kell (olyanok, amelyek nem esnek sem egyenesbe, sem pontba), a térben 4 általános állású pont kell.

Ha $\forall i$ -re $λ_{i} \geq 0$ , akkor konvex kombinációról beszélünk és a pontok konvex burkába esnek a kombináció eredményei.

Az affin transzformációk nem változtatják meg a baricentrikus koordinátákat.

Síkbeli baricentrikus koordináta-rendszer

Legyen $Δ (a, b, c) : = 1 a_{x} a_{y} 1 b_{x} b_{y} 1 c_{x} c_{y}, a, b, c \in E^{2}$

A $Δ (a, b, c)$ mennyiség az $a, b, c$ pontok által meghatározott háromszög előjeles területének duplája (pozitív, ha óra járásával ellentétes irányban adottak a csúcspontok, különben negatív)

Ha $E^{3}$ -ban vagyunk: $Δ (a, b, c) = ⟨(b - a) \times (c - a), n ⟩$ , ahol $n$ a három pont síkjának egység hosszú normálisa.

Baricentrikus $⟷$ Descartes konverzió

Baricentrikus $\to$ Descartes:
- Legyenek $(u, v, w)$ egy pont baricentrikus koordinátái a
  $p_{1} = (x_{1}, y_{1}), p_{2} = (x_{2}, y_{2}), p_{3} = (x_{3}, y_{3}) \in E^{2}$ általános állású pontokra vonatkoztatva.
- Ekkor az $(u, v, w)$ -vel azonosított $x (x, y)$ pont Descartes koordinátái
  $x = u \cdot p_{1} + v \cdot p_{2} + w \cdot p_{3}$ , azaz
  - $x = u x_{1} + v x_{2} + w x_{3}$
  - $y = u y_{1} + v y_{2} + w y_{3}$
Descartes $\to$ Baricentrikus:
- Egy $x \in E^{2}$ pont baricentrikus koordinátái a következők lesznek a
  $p_{1} = (x_{1}, y_{1}), p_{2} = (x_{2}, y_{2}), p_{3} = (x_{3}, y_{3}) \in E^{2}$ általános állású pontokra vonatkoztatva: $u = \frac{Δ ( x , p _{2} , p _{3} )}{Δ ( p _{1} , p _{2} , p _{3} )}$ $v = \frac{Δ ( p _{1} , x , p _{3} )}{Δ ( p _{1} , p _{2} , p _{3} )}$ $w = \frac{p _{1} , p _{2} , x}{Δ p _{1} , p _{2} , p _{3}}$

Homogén koordináták

Motiváció

Egymással párhuzamos egyenesek nem találkoznak.
Ötlet: Bűvítsük ki $E^{2}$ -t!

$\to$ tekintsük "pontnak" az egyenesek egyező állását (irányát) is, azaz minden egyenesnek legyen még egy "pontja".

Ez a pont az egyenes ideális pontja.

Ideális pont

Egyenes $=$ egyenes $+ 1$ ideális pont úgy, hogy:

Párhuzamos egyenesek ideális pontja megegyezik ("találkoznak a végtelenben")
Egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez a sík ideális egyenese
Párhuzamos síkok ideális egyenese megegyezik
A tér ideális elemei (pontok, egyenesek) egy síkban vannak, ez a tér ideális síkja.

Homogén tér

Homogén sík: az $E^{2}$ projektív lezárása, azaz $E^{2}$ egy kitüntetett ideális egyenessel

Projektív síkban két pont meghatároz egy egyenest
Két egyenes meghatároz egy pontot

Homogén tér: az $E^{3}$ projektív lezárása, azaz $E^{3}$ egy kitüntetett ideális síkkal

Három pont meghatároz egy síkot
Három sík meghatároz egy pontot

Az euklideszi tér minden pontjához hozzárendelünk egy számnégyest, homogén koordinátákat: $p (x, y, z) \to [x, y, z, 1] \approx h [x, y, z, 1] = [h x, h y, h z, h], h \neq = 0$

Az összes $v = [x, y, z]^{T}$ vektorhoz pedig: $[x, y, z] \to [x, y, z, 0] \approx h [x, y, z, 0] = [h x, h y, h z, 0], h \neq = 0$

Visszatérés Descartes koordináta-rendszerbe

Mit ábrázol az $[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]$ projektív térbeli elem?

Ha $x_{4} \neq = 0$ , akkor egy közönséges pontról van szó, aminek koordinátái homogén (vagy projektív) osztás után $[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] \approx [\frac{x _{1}}{x _{4}}, \frac{x _{2}}{x _{4}}, \frac{x _{3}}{x _{4}}, 1] = p (\frac{x _{3}}{x _{4}}, \frac{x _{3}}{x _{4}}, \frac{x _{3}}{x _{4}})$
Ha $x_{4} = 0$ , de $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} \neq = 0$ (nem mind nulla), akkor egy ideális pontról van szó, az $[x_{1}, x_{2}, x_{3}]$ vektorral egyező állású egyenesekhez rendeltről.
Ha $x_{i} = 0, i = 1, 2, 3, 4$ , akkor nincs értelmezve.

Nevezetes homogén alakok

Legyen $c \neq = 0$ tetszőleges, nem nulla valós szám. Ekkor a következő néhány példa nevezetes pontokra:

$[0, 0, 0, c]$ az origó
$[c, 0, 0, 0]$ az $x$ tengely ideális pontja
$[0, c, 0, 0]$ az $y$ tengely ideális pontja
$[0, 0, c, 0]$ a $z$ tengely ideális pontja

Tulajdonságok

A projektív síkon a pont és az egyenes, a projektív térben a pont és a sík duális fogalmak.

Figyeljünk, hogy egyes tulajdonságok az euklideszi térből nem jönnek át:

Egy egyenes egy pontja nem osztja két részre az egyenest! De két különböző pontja már két részre osztja
Egy síkot csak egy egyenese nem osztja két részre! De két különböző állású egyenese már két részre osztja
Két pontot összekötő egyenes szakasz sem egyértelmű! (az egyenes ideális pontja "összeregasztja" az egyenes két végét)

A homogén koordináták igen hasznosak lesznek transzformációs mátrixok használatánál, ugyanis a homogén koordináta "betartatja" a pontok és az eltolások közti műveletek szabályait.

Egyenesek és síkok leírása

Görbék, felületek

A görbéket, felületeket (amik közé az egyenes és a sík is tartozik) egy-egy ponthalmaznak tekintjük.

Hogyan adjuk meg ezeket a halmazokat?

explicit: $y = f (x), x \in R \to$ mi van ha vissza akarjuk "fordítani"?
parametrikus: $p (t) = [x (t) y (t)], t \in R$
implicit: $f (x, y) = 0, (x, y) \in R^{2}$

Egyenes

Egyszerű képlet: $y = m x + b$
Probléma: mi legyen a függöleges egyenesekkel?

Normálvektoros egyenlet síkban

Az egyenes megadható egy $p (p_{x}, p_{y})$ pontjával és egy, az egyenes irányára merőleges
$n = [n_{x}, n_{y}]^{T} \neq = 0$ normálvektorral:

Az egyenes pontjai azon $x (x, y)$ pontok, amelyek kielégítik a $⟨ x - p, n ⟩ = 0$ $(x - p_{x}) n_{x} + (y - p_{y}) n_{y} = 0$ egyenletet.

Az $⟨ x^{'} - p, n ⟩ < 0$ és $⟨ x^{'} - p, n ⟩ > 0$ az egyenesünk által meghatározott két félsík pontjainak jellemzése.

Homogén, implicit egyenlet síkban

Az $a x + b x + c = 0$ alakot hívjuk az egyenes implicit egyenletének.

A fentiek alapján $a = n_{x}, b = n_{y}$ és $c = - (p_{x} n_{x} + p_{y} n_{y}), a^{2} + b^{2} \neq = 0$ választással a $p$ ponton átmenő, $n$ normálisú egyenes implicit egyenletét kapjuk.

Ha $a^{2} + b^{2} = 1$ , akkor Hesse-féle normalizált alakról beszélünk. Ekkor a korábbi normálvektor egység hosszúságú.

A homogén egyenlet determináns alakja

Ha az egyenesünket két, $p (p_{x}, p_{y}), q (q_{x}, q_{y})$ pontjával adjuk meg, akkor azon $x (x, y)$ pontok fekszenek az egyenesen, amelyekre

$x p_{x} q_{x} y p_{y} q_{y} 111 = 0$

Ez a determináns az $x (x, y), p (p_{x}, p_{y}), q (q_{x}, q_{y})$ pontok által meghatározott háromszög előjeles területének duplája, ami ha 0, akkor a három pint egy egyenesbe esik.

Parametrikus egyenlet irányvektorral (2D, 3D)

Az egyenes megadható egy $p (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ pontjával és egy, az egyenes irányával megegyező irány $v = [v_{x}, v_{y}, v_{z}]^{T} \neq = 0$ irányvektorral:

$x (t) = p + t v = p_{x} + t v_{x} p_{y} + t v_{y} p_{z} + t v_{z} \to x (t) = p_{x} + t v_{x} y (t) = p_{y} + t v_{y} z (t) = p_{z} + t v_{z}$

Parametrikus egyenlet két pontal (2D, 3D)

Ekkor a $p$ és $q$ pontjait ismerjük az egyenesnek. Az előbbi esethez jutunk, ha $v = q - p$ választással élünk:

$x (t) = p + t v \to x (t) = (1 - t) p + tq \to x (t) = (1 - t) p_{x} + t q_{x} y (t) = (1 - t) p_{y} + t q_{y} z (t) = (1 - t) p_{z} + t q_{z}$

Homogén koordinátás alak

A kibővített (projektív) sík egy egyenese megadható az $e = [e_{1}, e_{2}, e_{3}]$ valós számhármassal, úgynevezett vonalkoordinátákkal, amelyeket felhasználásával az egyenes minden $x = [x_{1}, x_{2}, x_{3}]^{T}$ pontjára

$e x = e_{1} x_{1} + e_{2} x_{2} + e_{3} x_{3} = 0$

A sík minden $[x_{1}, x_{2}, 0]$ ideális pontjára illeszkedő ideális egyenes vonalkoordinátái $[0, 0, 1]$

Polár koordinátás alak

Az origón áthaladó, a polártengellyel $θ$ szöget bezáró irányú egyenesek polárkoordinátás (implicit) egyenlete: $ϕ = θ$

Ha az egyenesünk nem halad át az origón, akkor legyen $(r_{0}, θ_{0})$ a metszéspontja az egyenesünknek és egy arra merőleges, origón áthaladó egyenesnek. Ekkor az egyenesünk polárkoordinátái közül a sugár a polárszög függvényeként felírható:

$r (ϕ) = \frac{r _{0}}{cos ( ϕ - ϕ _{0} )}$

Sík

Normálvektoros egyenlet

A sík megadható egy $p (p_{x}, p_{y}, p_{z})$ pontjával és a síkra merőleges $n = [n_{x}, n_{y}, n_{z}]^{T}$ normálvektorával. Ekkor a sík minden $x$ pontjára:

$⟨ x - p, n ⟩ = 0$

Félterek: $⟨ x - p, n ⟩ < 0, ⟨ x - p, n ⟩ > 0$

Homogén, implicit alak

A sík implicit egyenletének alakja: $a x + b y + cz + d = 0$

Előbbiből $a = n_{x}, b = n_{y}, c = n_{z}$ és $d = - n_{x} p_{x} - n_{y} p_{y} - n_{z} p_{z}$
választással a $p$ ponton áthaladó, $n$ normálvektorú sík egyenletét kapjuk.

Hesse normál-alak itt is, ha $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$

Az előbbiből is kaphatjuk ezt $u = q - p, v = r - p$

Ez egy baricentrikus megoldás:

$x (s, t) = (1 - s - t) p + s q + t r$ hiszen $(1 - s - t) + s + t = 1$

Homogén koordinátás alak

A kibővített tér egy síkja is megadható "síkkordinátákkal", egy olyan $s = [s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}]$ négyessel, amely a sík minden $x = [x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]^{T}$ pontjára

$s x = s_{1} x_{1} + s_{2} x_{2} + s_{3} x_{3} + s_{4} x_{4} = 0$

Nevezetes homogén alakú síkok

$[0, 0, 0, c]$ az ideális sík
$[c, 0, 0, 0]$ az $Y Z$ koordinátasík
$[0, c, 0, 0]$ az $XZ$ koordinátasík
$[0, 0, c, 0]$ az $X Y$ koordinátasík

4. félévi jegyzetek