A parciális integrálás szabálya

Kimondás

Legyen $I\in \mathbb{R}$ nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f,g\in D(I)$ és az $f^{\prime }g$ függvénynek létezik primitív függvénye $I$-n. Ekkor az $f{g}^{\prime }$ függvénynek is van primitív függvénye és $$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx(x\in I)$$

Bizonyítás

Ha $H\in \int f^{\prime }g$, akkor $H\in D(I)$ és $H^{\prime }=f^{\prime }g$. Mivel $fg\in D(I)$, illetve $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$, ezért $(fg-H)\in D(I)$ és $$(fg-H{)}^{\prime }=(fg{)}^{\prime }-H^{\prime }=(f^{\prime }g+f{g}^{\prime })-f^{\prime }g=f{g}^{\prime }$$ Így $(fg-H)\in \int f{g}^{\prime }$ valóban fennáll.