Többváltozós függvények deriválása II

• Többváltozós függvények deriválása II
  • A gradiens vektor
  • Magasabb rendű deriváltak
  • ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvények szélsőértékei
  • Elsőrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre
  • Másodrendű elégséges feltétel a lokális szélsőértékekre
  • Másodrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre
  • Abszolút szélsőértékek
  • Források

A gradiens vektor

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+}),a\in int{\mathcal{D}}_f$ és $f\in D\{a\}$. Ekkor $$gradf(a):=({\partial }_{1}f(a),{\partial }_{2}f(a),\dots ,{\partial }_{n}f(a))$$ vektort gradiens vektornak nevezzük.

Magasabb rendű deriváltak

Az $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvény kétszer deriválható az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban, ha

1. $\exists K(a)\subset {\mathcal{D}}_f$, hogy $f\in D\{x\}$ minden $x\in K(a)$ pontban és
2. $\forall i=1,2,\dots ,n$ indexre ${\partial }_{i}f\in D\{a\}$

Ha az $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvény kétszer deriválható az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban, akkor $$f^{\prime \prime }=\left(\begin{array}{cccc}{\partial }_{11}f(a)& {\partial }_{12}f(a)& \dots & {\partial }_{1n}f(a)\\ {\partial }_{21}f(a)& {\partial }_{22}f(a)& \dots & {\partial }_{2n}f(a)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ {\partial }_{n1}f(a)& \partial n2f(a)& \dots & {\partial }_{nn}f(a)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$$ az $f$ függvény $a$ pontbeli Hesse-féle mátrixa, ahol $${\partial }_{ij}f(a)={\partial }_j({\partial }_{i}f)(a)$$

Young tétel

Ha $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(2\le n\in \mathbb{N})$ és $f\in D^2\{a\}$, akkor $${\partial }_{ij}f(a)={\partial }_{ji}f(a)\forall i,j=1,\dots ,n$$

A Taylor-formula a Peano-féle maradéktaggal

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és tegyük fel, hogy $a\in int{\mathcal{D}}_f$ és $f\in C^2\{a\}$. Ekkor van olyan $ϵ\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},{\lim }_0ϵ=0$ feltételnek eleget tevő függvény, hogy $$f(a+h)=f(a)+⟨f^{\prime }(a),h⟩+\frac{1}{2}⟨f^{\prime \prime }(a)\cdot h,h⟩+ϵ(h)||h|{|}^2(h\in {\mathbb{R}}^n,a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvények szélsőértékei

Azt mondjuk, hogy az $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvénynek az $a\in {\mathcal{D}}_f$ ponban abszolút maximuma van, ha $$\forall x\in {\mathcal{D}}_f:f(x)\le f(a)$$ Ekkor az $f(a)$ függvényértéket az $f$ abszolút maximumának nevezzük.

Azt mondjuk, hogy az $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvénynek az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban lokális maximumhelye van, ha van olyan $K(a)\subset {\mathcal{D}}_f$ környezet, hogy $$\forall x\in K(a):f(x)\le f(a)$$ Ekkor az $f(a)$ függvényértéket az $f$ függvény lokális maximumának nevezzük.

Elsőrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$ Továbbá

• $f\in D\{a\}$ és
• az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális szélsőértéke ban Ekkor $f^{\prime }(a)=0$, azaz $f^{\prime }(a)=({\partial }_{1}f(a){\partial }_{2}f(a)\dots {\partial }_{n}f(a))=(00\dots 0)$

Az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pont az $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ függvény stacionárius pontja, ha $f\in D\{a\}$ és $f^{\prime }(a)=0$

Másodrendű elégséges feltétel a lokális szélsőértékekre

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+}$ és $A=[a_{ij}]\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ egy szimmetrikus mátrix. Ekkor a $$Q(h):=⟨A\cdot h,h⟩=\sum _{i,j=0}^n{a}_{ij}{h}_i{h}_j\in \mathbb{R}(h=(h_1,h_2,\dots ,h_n)\in {\mathbb{R}}^n)$$ függvény az $A$ mátrix által meghatározott kvadratiks alaknak nevezzük.

Azt mondjuk, hogy az $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ szimmetrikus mátrix, illetve a hozzá tartozó $Q(h)=⟨A\cdot h,h⟩(h\in {\mathbb{R}}^n)$ kvadratikus alak

• pozitív definit, ha $\forall h\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$ esetén $Q(h)>0$
• negatív definit, ha $\forall h\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\}$ esetén $Q(h)<0$

Tétel

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})ma\in int{\mathcal{D}}_f$ és $f\in C^2\{a\}$. Tegyük fel, hogy

• $f^{\prime }(a)=0$
• az $f^{\prime \prime }(a)$ Hesse-féle mátrix pozitív (negatív) definit. Ekkor az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális minimuma (maximuma) van.

Másodrendű szükséges feltétel a lokális szélsőértékre

Azt mondjuk, hogy az $A\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$ szimmetrikus mátrix, illetve a hozzá tartozó $Q(h)=⟨A\cdot h,h⟩(h\in {\mathbb{R}}^n)$ kvadratikus alak

• pozitív szemidefinit, ha $\forall h\in {\mathbb{R}}^n$ esetén $Q(h)\ge 0$,
• negativ szemidefinit, ha $\forall h\in {\mathbb{R}}^n$ esetén $Q(h)\le 0$,
• indefinit, ha $Q$ pozitív ls negatív értéket is felvesz

Tétel

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+}),a\in int{\mathcal{D}}_f$ és $f\in C^2\{a\}$. Ha az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális minimuma (maximuma) van, akkor

• $f^{\prime }(a)=0$
• az $f^{\prime \prime }(a)$ Hesse-féle mátrix pozitív (negatív) szemidefinit.

Sylvester-kritérium

Legyen n \in \N^+, \ A \in \R^{n \times \n} egy szimmetrikus mátrix és $Q(h)=⟨A\cdot h,h⟩(h\in {\mathbb{R}}^n)$ az $A$ által meghatározott kvadratikus alak. Jelölje $$D_k:=\det \left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2k}\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& \dots & a_{kk}\end{array}\right)(k\in 1,2,\dots ,n)$$ az $A$ mátrix "bal felső sarokmátrixainak" a determinánsa. Ekkor az $A$ mátrix, illetve a $Q$ kvadratikus alak

• pozitív definit $⟺$ ha $\forall k=1,2,\dots$ esetén $D_k>0$
• negatív definit $⟺$ ha $\forall k=1,2,\dots$ esetén $(-1{)}^k{D}_k>0$

Abszolút szélsőértékek

Legyen $H\subset {\mathbb{R}}^n$ korlátos és zárt halmaz. Tegyük fel, hogy az $f:H\to \mathbb{R}$ függvény folytonos, illetve $f$ deriválható $H$ minden belső pontjában. Ekkor $f$ a legnagyobb (legkisebb) értékét vagy a $H$ halmaz határán veszi fel, vagy pedig egy olyan $a\in intH$ belső pontban, ahol ${\partial }_{i}f(a)=0$ teljesül minden $i=1,2,\dots ,n$ indexre.

Források

• Jegyzet