A deriváltmátrix előállítása

Kimondás

Legyen $f=(f_1,\dots ,f_m)\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m)\in {\mathbb{N}}^{+}$, ahol $f_j\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(j=1,\dots ,m)$ az $f$ függvény $j$-edik koordinátafüggvénye. Ha $f\in D\{a\}$, akkor $$\genfrac{}{}{0ex}{}{\exists {\partial }_i{f}_j(a)(\forall i=1,\dots ,n;\forall j=1,\dots ,m)\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}}{f^{\prime }(a)=\left(\begin{array}{cccc}{\partial }_1{f}_1(a)& {\partial }_2{f}_1(a)& \dots & {\partial }_n{f}_1(a)\\ {\partial }_1{f}_2(a)& {\partial }_2{f}_2(a)& \dots & {\partial }_n{f}_2(a)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ {\partial }_1{f}_m(a)& {\partial }_2{f}_m(a)& \dots & {\partial }_n{f}_m(a)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}}$$ a Jacobi-mátrix.

Bizonyítás

$f\in D\{a\}⟹\exists A=(a_{ij})\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ mátrix, hogy $$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-A\cdot h\Vert }{\Vert h\Vert }=0$$ Az $f$ függvény $j$-edik $(j=1,\dots ,m)$ koordinátafüggvényére a $h:=t{e}_i(t\in \mathbb{R},i=1,\dots ,n)$ választással azt kapjuk, hogy $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{|f_j(a+t{e}_i)-f_j(a)-a_{ij}t|}{|t|}=0$$ A parciális derivált értelmezése alapján tehát $$a_{i}j={\partial }_i{f}_j(a)(i=1,\dots ,n;j=1,\dots ,m)$$