A totális- és az iránymenti derivált kapcsolata

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to R(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $f\in D\{a\}$. Ekkor $f$ minden $v\in {\mathbb{R}}^n$ irányban vett iránymenti deriváltja létezik az $a\in \int {\mathcal{D}}_f$ pontban, és $${\partial }_{v}f(a)=⟨f^{\prime }(a),v⟩=\sum _{k=1}^n{\partial }_{k}f(a)\cdot v_k$$

$f^{\prime }(a):=({\partial }_{1}f(a),{\partial }_{2}f(a),\dots ,{\partial }_{n}f(a))$ az úgynevezett gradiensvektor és $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ egységvektor, azaz $$\Vert v\Vert =\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}=1$$

Bizonyítás

Ha $f\in D\{a\}$, akkor $\exists ϵ:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R},{\lim }_0ϵ=0$, úgy, hogy $$f(a+h)-f(a)=f^{\prime }(a)\cdot h+ϵ(h)\cdot \Vert h\Vert (a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

Legyen $h=tv(t\in \mathbb{R})$. Ekkor $\Vert h\Vert =|t|\cdot \Vert v\Vert =|t|$, hiszen $\Vert v\Vert =1$, és így $$f(a+tv)-f(a)=f^{\prime }(a)\cdot tv+ϵ(tv)\cdot |t|$$

Ezért $${\partial }_{v}f(a)=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{f(a+tv)-f(a)}{t}=f^{\prime }(a)\cdot v+\underset{t\to 0}{\lim }(ϵ(tv)sgn(t))=f^{\prime }(a)\cdot v+0=f^{\prime }(a)\cdot v$$

hiszen a $sgn$ függvény korlátos és ${\lim }_{t\to 0}ϵ(tv)={\lim }_{h\to 0}ϵ(h)=0$.