A második helyettesítési szabály

Kimondás

Legyenek $I,J\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallumok. Tegyük fel, hogy $$\begin{gathered} f:I\to \mathbb{R},g:J\to I,{\mathcal{R}}_g=I, \\ g\in D(J),g^{\prime }>0J \end{gathered}$$-n (vagy $g^{\prime }<0J$-n) és az $(f\circ g)\cdot g^{\prime }:J\to \mathbb{R}$ függvénynek van primitív függvénye. Ekkor az $f$ függvénynek is van primitív függvénye és $$\int f(x)dx{=}_{x=g(t)}\int f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt{|}_{t=g^{-1}(x)}(x\in I)$$

Bizonyítás

Ha $g^{\prime }>0J$-n, akkor $g$ szigorúan monoton növekvő, és ha $g^{\prime }<0J$-n, akkor $g$ szigorúan monoton csökkenő. Mindkét esetben $g$ invertálható, és mivel $g$ folytonos és $g^{\prime }\ne 0J$-n, így az inverz függvény deriváltjára vonatkozó tétel szerint a $g^{-1}:I\to J$ függvény differenciálható $I$ minden pontjában, és $${\left(g^{-1}\right)}^{\prime }=\frac{1}{g^{\prime }\circ g^{-1}}$$

Legyen $H\in \int (f\circ g)\cdot g^{\prime }$, akkor $H\in D(J)$ és $H^{\prime }=(f\circ g)\cdot g^{\prime }$. Ekkor az összetett függvény deriválására vonatkozó tétel szerint $H\circ g^{-1}\in D(I)$ és $$\begin{gathered} {\left(H\circ g^{-1}\right)}^{\prime }=\left(H^{\prime }\circ g^{-1}\right)\cdot {\left(g^{-1}\right)}^{\prime }=\left(((f\circ g)\cdot g^{\prime })\circ g^{-1}\right)\cdot {\left(g^{-1}\right)}^{\prime }= \\ =\left((f\circ g\circ g^{-1})\cdot (g^{\prime }\circ g^{-1})\right)\cdot {\left(g^{-1}\right)}^{\prime }=\left(f\cdot (g^{\prime }\circ g^{-1})\right)\cdot {\left(g^{-1}\right)}^{\prime }= \\ =f\cdot (g^{\prime }\circ g^{-1})\cdot \frac{1}{g^{\prime }\circ g^{-1}}=f \end{gathered}$$

Ez azt jelenti, hogy $H\circ g^{-1}\in \int f$, amiből a tétel állítása következik.