Integrálszámítás II

• Integrálszámítás II
  • Határozott integrál
  • A határozott integrál tulajdonságai
    • Intervallum szerinti additivitás
  • Az integrálfüggvény
    • Az integrálfüggvény folytonossága
    • Az integrálfüggvény deriválhatósága
  • A határozott integrál kiszámítása
    • Newton Leibniz formula
  • A határozott integrál alkalmazása
    • Ívhossz
    • Forgástest térfogata
  • Improprius integrálok
  • Források

Határozott integrál

Tegyük fel, hogy $-\infty <a<b<+\infty$ és $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ egy korlátos függvény. Azt mondjuk, hogy $f$ Riemann-integrálható az $[a,b]$ intervallumon, ha $I_{\ast }(f)=I^{\ast }(f)$ Ekkor az $${\int }_a^{b}f:={\int }_a^{b}f(x)dx:=I_{\ast }(f)=I^{\ast }(f)$$ számot az $f$ függvény $[a,b]$ intervallumon vett Rienmann-integrálnak nevezzük. Az $[a,b]$ intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát az $R[a,b]$ szimbólummal fogjuk jelölni.

Ha a korlátos $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény Riemann-integrálható az $[a,b]$ intervallumon és $f(x)\ge 0(x\in [a,b])$, akkor az $f$ grafikonja alatti $$A:=\left\{(x,a)\in {\mathbb{R}}^2|a\le x\le b,0\le x\le f(x)\right\}$$ síkidomnak van területe, és a területét így értelmezzük: $$T(A):={\int }_a^{b}f(x)dx$$

A határozott integrál tulajdonságai

• Legyen $f,g\in K[a,b]$ és tegyük fel, hogy az $A:=\left\{x\in [a,b]|f(x)\ne g(x)\right\}$ halmaz véges. Ekkor

  1. $f\in R[a,b]⟺g\in R[a,b]$
  2. ha $f\in R[a,b]$, akkor ${\int }_a^{b}f={\int }_a^{b}g$

• Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$. Tegyük fel, hogy az $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény folytonos.
  Ekkor $f\in R[a,b]$, azaz minden folytonos függvény integrálható ($C[a,b]\subset R[a,b]$)

• Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$. Ha az $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény szakaszonként folytonos, akkor $f\in R[a,b]$ és $${\int }_a^{b}f=\sum _{k=0}^{m-1}{\int }_{x_k}^{x_{k+1}}f$$

• Tegyük fel, hogy $f,g\in R[a,b]$. Ekkor

  1. minden $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ esetén $$\begin{gathered} \alpha f\beta g\in R[a,b] \\ \acute{e}s \\ {\int }_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha {\int }_a^{b}f+\beta {\int }_a^{b}g \end{gathered}$$

  2. $f\cdot g\in R[a,b]$

  3. ha valamilyen $m>0$ állandóra fennáll az $$|g(x)|\ge m>0(x\in [a,b])$$ egyenlőtlenség, akkor $\frac{f}{g}$ függvény is integrálható az $[a,b]$ intervallumon.

• Tegyük fel, hogy $f\in R[a,b]$. Ekkor

  1. ha $g\in R[a,b]$ és $f(x)\le g(x)(x\in [a,b])$, akkor ${\int }_a^{b}f\le {\int }_a^{b}g$
  2. $|f|\in R[a,b]$, és $\left|{\int }_a^{b}f\right|\le {\int }_a^b|f|$

Intervallum szerinti additivitás

Legyen $a<b<c$ valós számok és $f:[a,c]\to \mathbb{R}$ korlátos függvény. Ekkor $f\in R[a,c]$ akkor és csak akkor, ha $f\in R[a,b],f\in R[b,c]$ Ekkor $${\int }_a^{c}f={\int }_a^{b}f+{\int }_b^{c}f$$

Az integrálfüggvény

Tegyük fel, hogy $f\in R[a,b]$ és $x_0\in [a,b]$. Az $$F(x):={\int }_{x_0}^{x}f(t)dt(x\in [a,b])$$ függvény az $f$ függvény $x_0$ pontban eltűnő integrálfüggvénynek nevezzük.

Az integrálfüggvény folytonossága

Legyen $f\in R[a,b],x_0\in [a,b]$ és $F$ a $f$ függvény $x_0$ pontban eltűnő integrálfüggvénye. Ekkor $F\in C[a,b]$

Az integrálfüggvény deriválhatósága

Legyen $f\in R[a,b],x_0\in [a,b]$ és $F$ az $f$ függvény $x_0$ pontban eltűnő integrálfüggvénye. Tegyük fel, hogy $x\in (a,b)$ olyan pont, amire $f\in C\{x\}$ teljesül.
Ekkor $F\in D\{x\}$ és $F^{\prime }(x)=f(x)$

A határozott integrál kiszámítása

Legyen $[a,b]\subset \mathbb{R}$ korlátos és zárt intervallum. A $F:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény az $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ függvény egy primitív függvénye az $[a,b]$ intervallumon, ha

• $F\in C[a,b]$
• $F\in D(a,b)$ és $F^{\prime }(x)=f(x)$ $(x\in (a,b))$

Newton Leibniz formula

Tegyük fel, hogy

• $f\in R[a,b]$ és
• az $f$ függvénynek van primitív függvénye az $[a,b]$ intervallumon Ekkor $${\int }_a^{b}f(x)dx=F(B)-F(a)=:{\left[F(x)\right]}_a^b$$ ahol $F$ az $f$ függvény egy primitív függvénye.

A határozott integrál alkalmazása

Ívhossz

Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$ és $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ adott függvény. Azt mondjuk, hogy a $${\Gamma }_f:=\left\{(x,f(x))|x\in [a,b]\right\}$$ függvénygrafikon rektifikálható (van ívhossza), ha $$l({\Gamma }_f):=\sup \left\{l_f(\tau )|\tau \in \mathcal{F}[a,b]\right\}<+\infty$$ Ezt a valós számot a szóban forgó függvénygrafikon ívhosszának nevezzük.

Legyen $a,b\in \mathbb{R}a<b$ és tegyük fel, hogy $f\in C^1[a,b]$ Ekkor az $f$ függvény $${\Gamma }_f:=\left\{(x,f(x))|x\in [a,b]\right\}$$ grafikonjának van ívhossza, és az egyenlő az $$l({\Gamma }_f)={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$ határozott integrállal.

Forgástest térfogata

Legyen $0\le f\in R[a,b]$. Ekkor $f$ grafikonjának az $x$ tengely körüli megforgításával adódó $$A_f:=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|a\le x\le b,y^2+z^2\le f^2(x)\right\}$$ forgástestnek van térfogata, és az egyenlő a $$\pi {\int }_a^b{f}^2(x)dx$$ integrállal.

Legyen $a,b\in \mathbb{R},a<b$ és tegyük fel, hogy $0\le f\in C^1[a,b]$. Ekkor $f$ grafikonjának az $x$-tengely körüli forgatásával adódó $$A_f=\left\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|a\le x\le b,y^2+z^2\le f^2(x)\right\}$$ forgásfelületnek van felszíne, és értéke $$2\pi {\int }_a^{b}f(x)\cdot \sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

Improprius integrálok

Legyen $-\infty \le a<b<+\infty$ és $f:(a,b]\to \mathbb{R}$. Tegyük fel, hogy $f\in R[x,b]$ minden $x\in (a,b)$ esetén. Vezessük be a $$G(x):={\int }_a^{b}f(t)dt(x\in (a,b))$$ függvényt. Azt mondjuk, hogy $f$ függvény impropriusan integrálható, ha $\exists {\lim }_{a}G\in \mathbb{R}$ véges határérték. Ekkor az $${\int }_a^{b}f:=\underset{x\to a}{\lim }G(x)$$ számot az $f$ improprius integráljának nevezzük.

Legyen $-\infty \le a<b\le +\infty$ és $f:(a,b)\to \mathbb{R}$. Tegyük fel, hogy $f\in R[x,y]$ minden $a<x<y<b$ esetén. Azt mondjuk, hogy az $f$ függvény impropriusan integrálhatóm ha minden $c\in (a,b)$ esetén $f_{|(a,c]}$ és $f_{|[c,b)}$ impropriusan integrálható. Ekkor legyen $${\int }_a^{b}f:={\int }_a^{c}f+{\int }_c^{b}f$$

Források

• Jegyzet I
• Jegyzet II