A hányadosfüggvény deriválási szabálya

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f,g\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $f,g\in D\{a\}$ valamilyen $a\in int({\mathcal{D}}_f\cap {\mathcal{D}}_g)$ pontban.
és $g(a)\ne 0$
Ekkor

$$\begin{gathered} \frac{f}{g}\in D\{a\} \\ \acute{\mathrm{e}}\mathrm{s} \\ {\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(a)=\frac{f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a)}{g^2(a)} \end{gathered}$$

Bizonyítás

${\mathcal{D}}_{f/g}=\{x\in {\mathcal{D}}_f\cap {\mathcal{D}}_g|g(x)\ne 0\}$. Ha $g\in D\{a\}$, akkor $g\in C\{a\}$, ezért a $g(a)\ne 0$ feltétel miatt $$\exists K(a)\subset {\mathcal{D}}_g,\forall x\in K(a):g(x)\ne 0$$, hiszen a folytonos függvények előjeltartóak. Mivel $a\in int{\mathcal{D}}_f$, így feltételezhetjük, hogy $K(a)$ sugara olyan kicsi, hogy a fentiek mellett $K(a)\subset {\mathcal{D}}_f$ is teljesül. Ekkor $K(a)\subset {\mathcal{D}}_{f/g}$, és így $a\in int{\mathcal{D}}_{f/g}$ Másrészt $${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{f}{g}(x)-\frac{f}{g}(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(a)}{g(a)}}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)g(a)-f(a)g(x)}{g(a)g(x)(x-a)}=$$ $$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)g(a)-f(a)g(a)+f(a)g(a)-f(a)g(x)}{g(a)g(x)(x-a)}=$$ $$=\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{1}{g(a)g(x)}\cdot \frac{(f(x)-f(a))g(a)-f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}\right)=$$ $$=\frac{1}{g(a){\lim }_{x\to a}g(x)}\left(\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}g(a)-f(a)\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{x-a}\right)=$$ $$=\frac{1}{g^2(a)}(f^{\prime }(a)g(a)-f(a)g^{\prime }(a))$$