A L'Hospital-szabály a 0/0 esetben

Kimondás

Legyen $-\infty \le a<b<+\infty$, illetve $f,g\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Ekkor

• $f,g\in D(a,b)$
• $\forall x\in (a,b):g(x)\ne 0$ és $g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{a+0}f={\lim }_{a+0}g=0$
• $\exists {\lim }_{a+0}\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\in \bar{\mathbb{R}}$

$$⟹\exists \underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}=\underset{a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$$

Bizonyítás

Csak egy esetet (véges) bizonyítunk.

Legyen $A:={\lim }_{a+0}\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\in \overline{\mathbb{R}}$. Azt kell igazolni, hogy ${\lim }_{a+0}\frac{f}{g}=A$ azaz

$$(1)\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists \delta >0,\forall x\in (a,a+\delta )\subset (a,b):\frac{f(x)}{g(x)}\in K_{ϵ}(A)$$

Az $A={\lim }_{a+0}\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$ feltétel azt jelenti, hogy

$$(2)\forall ϵ>0-\mathrm{hoz}\exists {\delta }^{\ast }>0,\forall x\in (a,a+{\delta }^{\ast })\subset (a,b):\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}\in K_{ϵ}(A)$$

Értelmezzük az $f$ és a $g$ függvényt az $a$ pontban úgy, hogy $$f(a):=0\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}g(a):=0$$

A ${\lim }_{a+0}f={\lim }_{a+0}g=0$ feltételből következik, hogy ekkor $f,g\in C[a,b)$

Legyen $ϵ>0$ egy tetszőleges rögzített szám, és ${\delta }^{\ast }>0$ a $(2)$-ben szereplő szám.

Legyen $\delta :={\delta }^{\ast }$, és $x\in (a,a+\delta )$ egy tetszőleges pont. A Cauchy-féle középértéktétel feltételei az $f$ és a $g$ függvényre az $[a,x]$ intervallumon teljesülnek.
Ez azt jelenti, hogy $\exists {\xi }_x\in (a,x)\subset (a,a+{\delta }^{\ast })$, amire

$$\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f^{\prime }({\xi }_x)}{g^{\prime }({\xi }_x)}(\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{ez}(2)\mathrm{miatt})\in K_{ϵ}(A)$$

A $(1)$ állítást tehát bebizonyítottuk. A ${\lim }_{a+0}\frac{f}{g}$ határérték létezik, és ${\lim }_{a+0}\frac{f}{g}=A$