9. Többváltozós függvények deriválása I

• 9. Többváltozós függvények deriválása I
  • Parciális deriváltak ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ typusú függvényekre
  • Iránymenti deriváltak ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvényekre
    • Tétel
  • A totális derivált ${\mathbb{R}}^n{\mathbb{R}}^m$ típusú függvényekre
    • Tétel I
    • Tétel II
    • Tétel III
  • A deriváltmátrix előállítása
  • Elégséges feltétel a totális deriválhatóságra
    • A totálisan derivált és az iránymenti derivált kapcsolata
  • Felület érintősíkja
  • Deriválási szabályok
    • Algebrai műveletekre vonatkozó deriválási szabályok
    • Az összetett függvény deriválhatósága, láncszabály
  • Források

Parciális deriváltak ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ typusú függvényekre

Tegyük fel, hogy f \in \R^n \to \R (n \in \N^+), \ a \in \ int\mathcal{D}_f és $e_1,\dots ,e_n$ a kanonikus bázis ${\mathbb{R}}^n$-ben. Az $f$ függvénynek az $a$-ban létezik az $i$-dik $(i=1,2,\dots ,n)$ változó szerinti parciális deriváltja, ha az $$F_i:K(0)\ni t\to f(a+t{e}_i)$$ valós-valós függvény deriválható a $0$ pontban. A $F_i^{\prime }(0)$ valós számot az $f$ függvény $a$ pontbeli, $i$-edik változó szerinti parciális deriváltjának nevezzük, és az alábbi szimbólumok valamelyikével jelöljük: $${\partial }_{i}f(a),{\partial }_{x_i}f(a),\frac{\partial f}{{\partial }_{x_i}}(a),f_{x_i}^{\prime }(a),D_{i}f(a)$$

Iránymenti deriváltak ${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvényekre

Legyen $n\in {\mathbb{N}}^{+},f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Tegyük fel, hogy $v\in {\mathbb{R}}^n$ egy egységvektor: $||v||=1$. A $f$ függvénynek az $a$ pontban létezik a $v$ irányú iránymenti deriváltja, ha a $$F_v:K(0)\ni t\to f(a+tv)$$ valós-valós függvény deriválható a $0$ pontban. A $F_v^{\prime }(0)$ valós számot az $f$ függvény $a$ pontbeli $v$ irányú iránymenti deriváltjának nevezzük, és a ${\partial }_{v}f(a)$ vagy a $f_v^{\prime }(a)$ szimbólumokkal jelöljük.

Tétel

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+}),a\in int{\mathcal{D}}_f$, illetve az $f$ függvénynek léteznek a parciális deriváltjai egy $K(a)\subset {\mathcal{D}}_f$ környezetben, és ezek folytonosak az $a$ pontban. Ekkor az $f$ függvénynek az $a$ pontból induló tetszőleges $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)\in {\mathbb{R}}^n$ egységvektor irányban létezik az iránymenti deriváltja, és $${\partial }_{v}f(a)=⟨f^{\prime }(a),v⟩=\sum _{k=1}^n{\partial }_{k}f(a)\cdot v_k$$ ahol $f^{\prime }(a):=({\partial }_{1}f(a),{\partial }_{2}f(a),\dots ,{\partial }_{n}f(a))$ az úgynevezett gradiensvektor és $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ egységvektor, azaz $$||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}=1$$

A totális derivált ${\mathbb{R}}^n{\mathbb{R}}^m$ típusú függvényekre

Az $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvény totálisan deriválható az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban, ha $$\exists A\in {\mathbb{R}}^{m\times n}:\underset{h\to 0}{\lim }\frac{||f(a+h)-f(a)-A\cdot h||}{||h||}=0$$ Ekkor $f^{\prime }(a):=A$ az $f$ függvény deriváltmátrixa az $a$ pontban.

Tétel I

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ és $f\in D\{a\}$. Ekkor az $f^{\prime }(a)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ deriváltmátrix egyértelműen meghatározott.

Tétel II

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Ekkor $$f\in D\{a\}⟹f\in C\{a\}$$

Tétel III

Legyenek az $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ függvények koordinátafüggvényei $f_j:{\mathbb{R}}^n\supset {\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R}$, ahol $j=1,2,\dots ,m$, illetve $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Ekkor $$f\in D\{a\}⟺f_j\in D\{a\}$$ Továbbá $f_j^{\prime }(a)=e_j^T\cdot f^{\prime }(a)$, azaz $f_j^{\prime }$ az $f^{\prime }(a)$ mátrix $j$-edik sora.

A deriváltmátrix előállítása

Legyen $f=(f_1,\dots ,f_m)\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$, ahol $f_j\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(j=1,\dots ,m)$ az $f$ függvény $j$-edik koordinátafüggvénye. Ha $f\in D\{a\}$, akkor $$\exists {\partial }_i{f}_j(a)(\forall i=1,\dots ,n;\forall j=1,\dots ,m)$$ $$f^{\prime }(a)=\left(\begin{array}{cccc}{\partial }_1{f}_1(a)& {\partial }_2{f}_1(a)& \dots & {\partial }_n{f}_1(a)\\ {\partial }_1{f}_2(a)& {\partial }_2{f}_2(a)& \dots & {\partial }_n{f}_2(a)\\ ⋮& ⋮& ⋮& ⋮\\ {\partial }_1{f}_m(a)& {\partial }_2{f}_m(a)& \dots & {\partial }_n{f}_m(a)\end{array}\right)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$$ a Jacobi-mátrix

Elégséges feltétel a totális deriválhatóságra

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Tegyük fel, hogy az $a$ pontnak létezik olyan $K(a)\subset {\mathcal{D}}_f$ környezete, amelyre minden $i=1,\dots ,n$ index esetén a következők teljesülnek:

1. $\exists {\partial }_{i}f(x)$ minden $x\in K(a)$ pontban
2. a ${\partial }_{i}f:K(a)\to \mathbb{R}$ parciális deriváltfüggvény folytonos az $a$ pontban.

Ekkor az $f$ függvény totálisan deriválható az $a$ pontban.

A totálisan derivált és az iránymenti derivált kapcsolata

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}(n\in {\mathbb{N}}^{+})$ és $f\in D\{a\}$. Ekkor $f$ minden $v\in {\mathbb{R}}^n$ irányban vett iránymenti deriváltja létezik az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban, és $${\partial }_{v}f(a)=⟨f^{\prime }(a),v⟩=\sum _{k=1}^n{\partial }_{k}f(a)\cdot v_k$$ $f^{\prime }(a):=({\partial }_{1}f(a),{\partial }_{2}f(a),\dots ,{\partial }_{n}f(a))$ az úgynevezett gradiensvektor és $v=(v_1,v_2,\dots ,v_n)$ egységvektor,azaz $$||v||=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots +v_n^2}=1$$

Felület érintősíkja

Az $f\in {\mathbb{R}}^2\to \mathbb{R}$ függvény grafikonjának az $(x_0,y_0,f(x_0,y_0))$ pontban van érintősíkja, ha $f\in D\{(x_0,y_0)\}$. Az érintősík egyenlete: $$z-f(x_0,y_0)={\partial }_{x}f(x_0,y_0)\cdot (x-x_0)+{\partial }_{y}f(x_0,y_0)\cdot (y-y_0)$$ amelynek egyik normálvektora: $\bar{n}({\partial }_{x}f(x_0,y_0),{\partial }_{y}f(x_0,y_0)-1)$

Deriválási szabályok

Algebrai műveletekre vonatkozó deriválási szabályok

• Ha $f,g\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m(n,m\in {\mathbb{N}}^{+})$ és f,g \in \D{a}, akkor $\forall \alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ esetén $$(\alpha f+\beta g)\in D\{a\}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}(\alpha f+\beta g{)}^{\prime }(a)=\alpha f^{\prime }(a)+\beta g^{\prime }(a)$$
• Ha $m=1$, akkor az $f\cdot g$ és az $f/g$ függvényekre az egyváltozós esethez hasonló deriválási szabályok teljesülnek.

Az összetett függvény deriválhatósága, láncszabály

Legyen $n,m,s\in {\mathbb{N}}^{+}$. Ha $g\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ és $g\in D\{a\}$, továbbá $f\in {\mathbb{R}}^m\to {\mathbb{R}}^s$ és $f\in D\{g(a)\}$, akkor $f\circ g\in D\{a\}$ és $$(f\circ g{)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(g(a))\cdot g^{\prime }(a)$$

Források

• Jegyzet