A deriválhatóság ekvivalens átfogalmazása lineáris közelítéssel

Kimondás

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Ekkor $$\begin{gathered} f\in D\{a\} \\ ⟺ \\ \exists A\in \mathbb{R}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\exists ϵ:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R},\underset{a}{\lim }ϵ=0: \\ f(x)-f(a)=A(x-a)+ϵ(x)(x-a)(x\in {\mathcal{D}}_f) \end{gathered}$$

Bizonyítás

$⟹$ $$f\in D\{a\}⟹\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)\in \mathbb{R}⟺\underset{x\to a}{\lim }\left(\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime }(a)\right)=0$$

Ha $ϵ(a):=0$ és $$ϵ(x):=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}-f^{\prime }(a)(x\in {\mathcal{D}}_f\setminus \{a\})$$

akkor ${\lim }_aϵ=0$ és $$f(x)-f(a)=f^{\prime }(a)(x-a)+ϵ(x)(x-a)(x\in {\mathcal{D}}_f)$$ ezért a feltétel az $A=f^{\prime }(a)$ választással teljesül.

$⟸$ Most tegyük fel, hogy $\exists A\in \mathbb{R}$ és $\exists ϵ:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R},{\lim }_aϵ=0$, hogy $$f(x)-f(a)=A(x-a)+ϵ(x)(x-a)(x\in {\mathcal{D}}_f)$$ Ebből $$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=A+ϵ(x)\to A+0=A,\mathrm{ha}x\to a$$ adódik, ami azt jelenti, hogy $f\in D\{a\}$ és $f^{\prime }(a)=A$