A Cauchy-féle középértéktétel

Kimondás

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$. Ekkor

• $f,g\in C[a,b]$,
• $f,g\in D(a,b)$,
• $\forall x\in (a,b):g^{\prime }(x)\ne 0$

$⟹\exists \xi \in (a,b):\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$

Bizonyítás

Először vegyük észre, hogy a Rolle-tételből következik, hogy $g(a)\ne g(b)$.
Tekintsük a következő függvényt: $$F(x):=f(x)-\lambda g(x)(x\in [a,b])\mathrm{ahol}\lambda :=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$

Világos, hogy $$\begin{gathered} f,g\in C[a,b]⟹F\in C[a,b] \\ \acute{\mathrm{e}}\mathrm{s} \\ f,g\in D(a,b)⟹F\in D(a,b) \end{gathered}$$

Másrészt $$F(a)=f(a)-\lambda g(a)=\lambda \mathrm{defin}\acute{\mathrm{ı}}\mathrm{ci}\acute{\mathrm{o}}\mathrm{jaszerint}=f(b)-\lambda g(b)=F(b)$$

Ez azt jelenti, hogy $F$ eleget tesz a Rolle-tétel feltételeinek, és így
$\exists \xi \in (a,b):F^{\prime }(\xi )=0$

Azonban $$F^{\prime }(x)=f^{\prime }(x)-\lambda g^{\prime }(x)(x\in (a,b))$$ tehát $$f^{\prime }(\xi )-\lambda g^{\prime }(\xi )=F^{\prime }(\xi )=0⟹\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\lambda =\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$$