Elégséges feltétel függvények Taylor-sorral történő előállítására

Kimondás

Legyen $f\in D^{\infty }(K(a))$, és tegyük fel, hogy $\exists M>0$ valós szám, amire $$\forall x\in K(a),\forall n\in \mathbb{N}:|f^{(n)}(x)|\le M$$ teljesül. Ekkor $f$-nek az $a$ ponthoz tartozó Taylor sora a $K(a)$ halmazon előállítja az $f$ függvényt, vagyis fennáll a következő egyenlőség: $$f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,(x\in K(a))$$

Bizonyítás

Legyen $x\in K(a)$ egy tetszőleges pont. Azt kell igazolni, hogy $$f(x)=\underset{n\to +\infty }{\lim }{T}_{n,a}(x)(x\in K(a))$$ Ez a Taylor-formula szerint igaz, hiszen létezik olyan $\xi$ pont $a$ és $x$ között, hogy $$\left|f(x)-T_{n,a}(x)\right|=\left|\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}\right|\le M\cdot \frac{|x-a{|}^{n+1}}{(n+1)!}\to 0,\mathrm{ha}n\to +\infty$$