A deriváltmátrix egyértelműsége

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f\in {\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ és $f\in D\{a\}$. Ekkor az $f^{\prime }(a)\in {\mathbb{R}}^{m\times n}$ deriváltmátrix egyértelműen mehatározott.

Bizonyítás

Tegyül fel, hogy az $A_1$ és $A_2$ mátrixko kielégítik a totálisan deriválhatóság definíciójában szereplő feltételeket. Ekkor $$\begin{gathered} 0\le \frac{\Vert (A_1-A_2)h\Vert }{\Vert h\Vert }=\frac{\Vert (f(a+h)-f(a)-A_{2}h)-f(a+h)-f(a)-A_{1}h\Vert }{\Vert h\Vert }\le \\ \le \frac{\Vert f(a+h)-f(a)-A_{2}h\Vert }{\Vert h\Vert }+\frac{\Vert f(a+h)-f(a)-A_{1}h\Vert }{\Vert h\Vert }\to 0+0=0(h\to 0) \end{gathered}$$

A közrefogási elv miatt $$\begin{gathered} \underset{h\to 0}{\lim }\frac{\Vert (A_1-A_2)h\Vert }{\Vert h\Vert }=0\stackrel{h=t{e}_i}{⟹}0=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\Vert (A_1-A_2)(t{e}_i)\Vert }{\Vert t{e}_i\Vert }=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{|t|\cdot \Vert (A_1-A_2)e_i\Vert }{|t|\cdot \Vert e_i\Vert }= \\ =\Vert (A_1-A_2)e_i\Vert \end{gathered}$$

Így $(A_1-A_2)e_i=0$, azaz $A_1{e}_i=A_2{e}_i$ minden $i=1,2,\dots ,n$ esetén. Tehát a mátrixok mindegyik $i$-edik oszlopa megegyezik, és így $A_1=A_2$.