A Rolle-féle középértéktétel

Kimondás

Legyen $a,b\in \mathbb{R}$ és $a<b$. Ekkor

• $f\in C[a,b]$
• $f\in D(a,b)$
• $f(a)=f(b)$

$⟹\exists \xi \in (a,b):f^{\prime }(\xi )=0$

Bizonyítás

Mivel $f\in C[a,b]$, ezért a Weierstrass tételből következik, hogy $$\exists \alpha ,\beta \in [a,b]:f(\alpha )=\underset{[a,b]}{\min }f=:m\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}f(\beta )=\underset{[a,b]}{\max }f=:M$$

Két eset lehetséges

• $f(\alpha )=f(\beta )$ Ekkor $f$ állandó $(a,b)$-n, így tetszőleges $\xi \in (a,b)$ pontban $f^{\prime }(\xi )=0$.
• $f(\alpha )\ne f(\beta )$, tehát $m/f(\alpha )<f(\beta )=M$

Ha $m\ne f(a)=f(b)$, akkot az $\alpha$ abszolút minimumhely az $(a,b)$ intervallumban van. Világos, hogy $\alpha$ egyúttal lokális minimumhelye is az $f$ függvénynek. A feltételeink alapján $f\in D\{a\}$, ezért a lokális szélsőértékre vonatkozó elsőrendű szükséges feltételből következik, hogy $f^{\prime }(\alpha )=0$. A tétel állítása tehát a $\xi :=\alpha \in (a,b)$ választással teljesül.

Ha $m=f(a)=f(b)<M$, akkor a $\beta$ abszolút maximumhely van az $(a,b)$ intervallumban, és ez egyúttal lokális maximumhely is, tehát $f^{\prime }(\beta )=0$. Ebben az esetben a tétel állítása tehát a $\xi :=\beta \in (a,b)$ választással teljesül.