Integrálszámítás I

• Integrálszámítás I
  • A határozatlan integrál fogalma
    • Tétel
  • Határozatlan integrálra vonatkozó szabályok
    • A határozatlan integrál linearitása
    • Az első helyettesítési szabály
    • Parciális integrálás
    • A második helyettesítési szabály
  • Források

A határozatlan integrál fogalma

Legyen adott $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallumon értelmezett $f:I\to \mathbb{R}$ függvény.
Azt mondjuk, hogy a $F:I\to \mathbb{R}$ függvény $f$ primitív függvénye, ha $F\in D(I)$ és $F^{\prime }(x)=f(x)(x\in I)$

Tétel

Legyen $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallum és $f:I\to \mathbb{R}$ adott függvény.

1. Ha $F:I\to \mathbb{R}$ az $f$ függvénynek egy primitív függvénye, akkor minden $c\in \mathbb{R}$ esetén a $F+c$ függvény is primitív függvénye $f$-nek
2. Ha $F_1,F_2:I\to \mathbb{R}$ primitív függvényei az $f$ függvénynek, akkor $$\exists c\in \mathbb{R}:F_1(x)=F_2(x)+c(x\in I)$$ azaz a primitív függvények csak konstansban különböznek egymástól.

Ennél a tételnél fontos, hogy $f$ intervallumon legyen értelmezve!

Az $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallumon értelmezett $f$ függvény primitív függvényeinek a halmazát $f$ határozatlan integráljának nevezzük, és így jelöljük: $$\int f:=\int f(x)dx:=\{F:I\to \mathbb{R}|F\in D\acute{e}s{F}^{\prime }=f\}$$ Ilyenkor $f$-re az integrandus, illetve az integráló függvény elnevezéseket használjuk.

Határozatlan integrálra vonatkozó szabályok

A határozatlan integrál linearitása

Legyen $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallum.
Ha az $f,g:I\to \mathbb{R}$ függvényeknek létezik primitív függvénye, akkor tetszőleges $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ mellett $(\alpha f+\beta g)$-nek is létezik primitív függvénye és $$\int (\alpha f(x)+\beta g(x))dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx(x\in I)$$

Az első helyettesítési szabály

Legyenek $I,J\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallumok és $g:I\to \mathbb{R},f:J\to \mathbb{R}$ függvények.
Tegyük fel, hogy $g\in D(I),{\mathcal{R}}_g\subset J$ és az $f$ függvénynek van primitív függvénye. Ekkor az $(f\circ g)\cdot g^{\prime }$ függvénynek is van primitív függvénye és $$\int f(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=F(g(x))+c(x\in I)$$

Parciális integrálás

Legyen $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f,g\in D(I)$ és az $f^{\prime }g$ függvénynek létezik primitív függvénye $I$-n. Ekkor az $f{g}^{\prime }$ függvénynek is van primitív függvénye ls $$\int f(x)g^{\prime }(x)dx=f(x)g(x)-\int f^{\prime }(x)g(x)dx(x\in I)$$

A második helyettesítési szabály

Legyenek $I,J\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallumok.
Tegyük fel, hogy $f:I\to \mathbb{R},g:J\to I,{\mathcal{R}}_g=I,g\in D(J),g^{\prime }>0J$-n
és az $(f\circ g)\cdot g^{\prime }:J\to \mathbb{R}$ függvénynek van primitív függvénye.
Ekkor az $f$ függvénynek is van primitív függvénye és $$\int f(x)dx{=}_{x=g(t)}\int f(g(t))\cdot g^{\prime }(t)dt{|}_{t=g^{-1}(x)}(x\in I)$$

Források

• Jegyzet