${\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ típusú függvényekre vonatkozó másodrensű elégséges feltétel a lokális szélsőértékre

Kimondás

Legyen $f\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R},(m\in {\mathbb{N}}^{+}),a\in \int {\mathcal{D}}_f$ és $f\in C^2\{a\}$. Tegyük fel, hogy

• $f^{\prime }(a)=0$
• az $f^{\prime \prime }$ Hesse-féle mátrix pozitív (negatív) definit.

Ekkor az $f$ függvénynek az $a$ pontban lokális minimuma (maximuma) van.

Bizonyítás

A Peano-féle maradéktagos Taylor-formula szerint van olyan $ϵ\in {\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ a ${\lim }_0ϵ=0$ feltételnek eleget tevő függvény, hogy

$$f(a+h)=f(a)+⟨f^{\prime }(a),h⟩+\frac{1}{2}⟨f^{\prime \prime }(a)\cdot h,h⟩+ϵ(h)\Vert h{\Vert }^2(h\in {\mathbb{R}}^n,a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

Ha $f^{\prime }(a)=0$ és $Q(h):=⟨f^{\prime \prime }(a)\cdot h,h⟩$ akkor a fenti egyenletből: $$f(a+h)-f(a)=\frac{1}{2}Q(h)+ϵ(h)\cdot \Vert h{\Vert }^2(h\in {\mathbb{R}}^n,a+h\in {\mathcal{D}}_f)$$

Ha az $f^{\prime \prime }(a)$ mátrix, vagyis a $Q$ kvadratikus alak pozitív definit, akkor $$m_Q:=\min \{Q(h)|h\in {\mathbb{R}}^n,\Vert h\Vert =1\}>0$$ és $$Q(h)=Q\left(\Vert h\Vert \cdot \frac{h}{\Vert h\Vert }\right)=\Vert h{\Vert }^2\cdot Q\left(\frac{h}{\Vert h\Vert }\right)$$

A $\frac{h}{\Vert h\Vert }$ egységvektor, tehát $$Q(h)\ge m_Q\Vert h{\Vert }^2>0(h\in {\mathbb{R}}^n\setminus \{0\})$$

Ezért $$f(a+h)-f(a)\ge \frac{m_Q}{2}\cdot \Vert h{\Vert }^2+ϵ(h)\cdot \Vert h{\Vert }^2=\left(\frac{m_Q}{2}+ϵ(h)\right)\cdot \Vert h{\Vert }^2$$

Mivel ${\lim }_0ϵ=0$, így $\exists \delta >0,\forall h\in K_{\delta }(0):|ϵ(h)|<\frac{m_Q}{4}$. Ha $h\in K_{\delta }(0)$, akkor $$f(a+h)-f(a)\ge \left(\frac{m_Q}{2}-|ϵ(h)|\right)\cdot \Vert h{\Vert }^2\ge \left(\frac{m_Q}{2}-\frac{m_Q}{4}\right)\cdot \Vert h{\Vert }^2=\frac{m_Q}{4}\Vert h{\Vert }^2\ge 0$$

Az $x=a+h$ helyettesítéssel azt kapjuk, hogy $$\forall x\in K_{\delta }(a):f(x)\ge f(a)$$

ami azt jelenti, hogy az $f$ függvénynek lokális minimuma van az $a$ pontban.

Hasonlóan igazolható, hogy ha $Q$ negatív definit, akkor az $f$ függvénynek lokális maximuma van az $a$ pontban.