Függvénytulajdonságok kapcsolata a deriváltal II.

• Függvénytulajdonságok kapcsolata a deriváltal II.
  • Konvex és konkáv függvények
    • A konvexitás-konkávitás és a második derivált kapcsolata
    • Inflexiós pont
  • Aszimptoták
    • Tétel
  • L'Hospital szabályok
    • 0/0 esetben
    • Végtelen/Végtelen esetben
  • Teljes függvényvizsgálat
  • Források

Konvex és konkáv függvények

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $I\in {\mathcal{D}}_f$ egy intervallum. Ha $\forall a,b\in I,a<b$ esetén igaz az, hogy

• ha $\forall x\in (a,b):f(x)\le \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$, akkor azt modnjuk, hogy az $f$ függvény konvex az $I$ intervallumon.
• ha $\forall x\in (a,b):f(x)\ge \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)$, akkor azt modnjuk, hogy az $f$ függvény konkáv az $I$ intervallumon.

Szigorú egyenlőtlenségek esetén szigorúan konvex/konkáv függvényekről beszélünk.

A konvexitás-konkávitás és a második derivált kapcsolata

Legyen $(a,b)\subset \mathbb{R}$ egy nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f\in D^2(a,b)$. Ekkor

1. $f$ konvex [illetve konkáv] $(a,b)$-n $⟺$ $f^{\prime \prime }\ge 0$ [illetve $f^{\prime \prime }\le 0$] $(a,b)$-n
2. ha $f^{\prime \prime }>0$ [illetve $f^{\prime \prime }<0$] $(a-b)$-n $⟹$ $f$ szigorúan konvex [illetve sziorúan konkáv] $(a,b)$-n

Inflexiós pont

Legyen $(a,b)\subset \mathbb{R}$ egy nyílt intervallum és tegyük fel, hogy $f\in D(a,b)$. Ekkor azt mondjuk, hogy a $c\in (a,b)$ pont az $f$ függvény inflexiós pontja, ha $$\exists \delta >0:f\mathrm{konvex}(c-\delta ,c]-\mathrm{n}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\mathrm{konk}\acute{\mathrm{a}}\mathrm{v}[c,c+\delta )-\mathrm{n}$$ vagy fordítva.

Aszimptoták

Legyen $a\in \mathbb{R}$ és $f:(a,+\infty )\to \mathbb{R}$. Azt mondjuk, hogy az $f$ függvénynek van aszimptotikája ($+\infty$)-ben, ha $$\exists l(x)=Ax+B(x\in \mathbb{R})$$ elsőfokú függvény, amelyre $$\underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-l(x))=0$$

Ekkor az $y=Ax+B$ egyenletű egyenes az $f$ függvény asszimptotikája ($+\infty$)-ben.

Tétel

Legyen $a\in \mathbb{R}$. Az $f:(a,+\infty )\to \mathbb{R}$ függvénynek akkor és csak akkor van asszimptotikája ($+\infty$)-ben, ha léteznek és vegesek a következő határértékek: $$\begin{gathered} \underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=:A\in \mathbb{R} \\ \underset{x\to +\infty }{\lim }(f(x)-Ax)=:B\in \mathbb{R} \end{gathered}$$

Ekkor az $$l(x)=Ax+B(x\in \mathbb{R})$$ egyenes az $f$ függvény asszimptotikája ($+\infty$)-ben.

L'Hospital szabályok

0/0 esetben

Legyen $-\infty \le a<b<+\infty$, illetve $f,g\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Ekkor

• $f,g\in D(a,b)$
• $\forall x\in (a,b):g(x)\ne 0$ és $g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{a+0}f={\lim }_{a+0}g=0$
• $\exists {\lim }_{a+0}\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\in \bar{\mathbb{R}}$

$$⟹\exists \underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}=\underset{a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$$

Végtelen/Végtelen esetben

Legyen $-\infty \le a<b<+\infty$, illetve $f,g\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$. Ekkor

• $f,g\in D(a,b)$
• $\forall x\in (a,b):g(x)\ne 0$ és $g^{\prime }(x)\ne 0$
• ${\lim }_{a+0}f={\lim }_{a+0}g=+\infty$
• $\exists {\lim }_{a+0}\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}\in \bar{\mathbb{R}}$

$$⟹\exists \underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\underset{a+0}{\lim }\frac{f}{g}=\underset{a+0}{\lim }\frac{f^{\prime }}{g^{\prime }}$$

Teljes függvényvizsgálat

1. Kezdeti vizsgálatok (Deriválhatóság, zérushelyek, előjelvizsgálat, paritás, periodicitás megállapítása)
2. Lokális szélsőértékek ls monotonitási intervallumok
3. Konvexitási intervallumok és inflexiós pontok
4. Határértékek és aszimptoták
5. A függvény grafikonjának felrajzolása

Források

• Jegyzet - pdf