Taylor polinomok és Taylor sorok

• Taylor polinomok és Taylor sorok
  • Lineáris közelítés
  • Taylor polinomok
    • Taylor formula
  • Taylor sorok
    • Elégséges feltétel függvények Taylor sorral történő előállítására
  • Források

Lineáris közelítés

Gyakori jelenség, hogy valamely problémánál fellépő függvénnyel dolgozva egyszerűbb és áttekinthetőbb eredményhez juthatunk, ha a függvény helyett egy másik, az eredetit "jól közelítő", de egyszerűbb típusú függvényt tekintünk. Az egyik legegyszerűbb függvénytípus az elsőfokú polinom (vagyis az $mx+b(x\in \mathbb{R})$ függvény). Megmutatjuk, hogy egy $f$ függvény deriválhatósága az $a\in int{\mathcal{D}}_f$ pontban éppen azt jelenti, hogy a függvény bizonyos értelemben "jól közelíthető" elsőfokú polinommal.

Legyen $f\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $a\in int{\mathcal{D}}_f$. Ekkkor $$\begin{gathered} f\in D\{a\} \\ ⟺ \\ \exists A\in \mathbb{R}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}\exists ϵ:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R},\underset{a}{\lim }ϵ=0: \\ f(x)-f(a)=A(x-a)+e(x)(x-a)(x\in {\mathcal{D}}_f) \end{gathered}$$

Taylor polinomok

Ha a lineáris közelítés nem elég pontos, akkor magasabb fokszámú polinomokkal is próbál- kozhatunk. Jobbnak tűnik az $$f(x)=P_n(x)+ϵ(x)(x-a{)}^n(x\in {\mathcal{D}}_f)$$ típusú közelítés, ahol $ϵ:{\mathcal{D}}_f\to \mathbb{R},{\lim }_aϵ=0$ és $P_n$ egy legfeljebb $n$-ed fokú polinom.

A továbbiakban feltételezzük, hogy $n\in \mathbb{N}$ és az $f$ függvény $n$-szer deriválható az $a$ pontban. Ekkor értelmezhető az alábbi polinom.

Ha $n\in N,a\in {\mathcal{D}}_f$ és $f\in D^n\{a\}$, akkor a $$\begin{gathered} T_{n,a}f(x):=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a{)}^n= \\ \sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k(x\in \mathbb{R}) \end{gathered}$$ polinomot az $f$ függvény $a$ ponthoz tartozó $n$-edik Taylor-polinómjának nevezzük.

A Taylor polinom úgy van kitalálva, hogy $i$-dik deriváltja megegyezik a függvénx $i$-fik deriváltjával az $a$ pontban.

Taylor formula

A Taylor-polinommal történő közelítés becsléséhez szükségünk lesz a következő állításra.

Legyen $n\in \mathbb{N}$ és tegyük fel, hogy $f\in D^{n+1}(K(a))$ Ekkor $$\begin{gathered} \forall x\in K(a)\mathrm{ponthoz}\exists \xi a\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}x\mathrm{k}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{z}\ddot{\mathrm{o}}\mathrm{tt},\mathrm{hogy} \\ f(x)-T_{n,a}f(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1} \end{gathered}$$ a fenti képlet jobb oldalán álló függvényt Lagrange-féle maradéktagnak nevezzük.

Taylor sorok

Egy adott függvényt vajon elő lehet-e állítani hatványsor összegfüggvényeként? Ha igen, akkor a függvény ismeretében hogyan lehet az együtthatókat meghatározni?

Ha $a\in {\mathcal{D}}_f$ és $f\in D^{\infty }\{a\}$, akkor a $$\begin{gathered} T_{a}F(x):=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)+\frac{f^{\prime \prime }(a)}{2!}(x-a{)}^2+\cdots +\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k+\cdots = \\ \sum _{k=0}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,(x\in \mathbb{R}) \end{gathered}$$ hatványsort az $f$ függvény $a$ ponthoz tartozó Taylor sorának nevezzük.

Minden pozitív konvergenciasugárral rendelkező hatványsor összefüggvénye a Taylor sorával egyenlő a konvergenciahalmaz belsejében.

Elégséges feltétel függvények Taylor sorral történő előállítására

Legyen $f\in D^{\infty }(K(a))$, és tegyük fel, hogy $\exists M>0$ valós szám, amire $$\forall x\in K(a),\forall n\in \mathbb{N}:|f^{(n)}(x)|\le M$$ teljesül. Ekkor $f$-nek az $a$ ponthoz tartozó Taylor sora a $K(a)$ halmazon előállítja az $f$ függvényt, vagyis fennáll a következő egyenlőség: $$f(x)=\sum _{k=0}^{+\infty }\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k,(x\in K(a))$$

Források

• Jegyzet - pdf