Az inverz függvény deriválási szabálya

Kimondás

Legyen $I$ egy nyílt intervallum, és $f:I\to \mathbb{R}$.
Tegyük fel, hogy

1. $f$ szigorúan monoton és folytonos az $I$ intervallumon,
2. valamilyen $a\in I$ pontban $f\in D\{a\}$ és $f^{\prime }(a)\ne 0$.

Ekkor az $f^{-1}$ függvény deriválható a $b=f(a)$ pontban és $$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\frac{1}{f^{\prime }(a)}=\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}(b)\right)}$$

Bizonyítás

Tufjuk, hogy ha $f$ szigorúan monoton, akkor invertálható és inverze is szigorúan monoton. Mivel ${\mathcal{D}}_f=I$ egy nyílt intervallum, illetve $f$ szigorúan monoton és folytonos függvény, így ${\mathcal{D}}_{f^{-1}}={\mathcal{R}}_f$ is egy nyílt intervallum, ezért $b\in \mathrm{int}{\mathcal{D}}_{f^{-1}}$, illetve $f^{-1}$ folytonos ennek az ${\mathcal{R}}_f$ nyílt intervallum minden pontjában.

Legyen $y\in {\mathcal{D}}_f^{-1}$. Tudjuk, hogy $b=f(a)$ és $a=f^{-1})(b)$. Mivel $f^{-1}$ szigorúan monoton, így egyértelmű, ezért alkalmazhatjuk az $x=f^{-1}(y)$ helyettesítést az alábbi határértékben, ahol $x\to f^{-1}(b)=a$, ha $y\to b$ és $y=f(x)$ ($f^{-1}$ folytonossága miatt).

$$(f^{-1}{)}^{\prime }(b)=\underset{y\to b}{\lim }\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(b)}{y-b}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{x-a}{f(x)-f(a)}=\frac{1}{{\lim }_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}=\frac{1}{f^{\prime })(a)}$$ hiszen $f\in D\{a\}$ és $f^{\prime }(a)\ne 0$