A konvexitás és a kétszeres derivált kapcsolata

Kimondás

Legyen $(a,b)\subset \mathbb{R}$ egy nyílt intervallum. Tegyük fel, hogy $f\in D^2(a,b)$. Ekkor

1. $f$ konvex [vagy konkáv] $(a,b)$-n $⟺$ $f^{\prime \prime }\ge 0$ [vagy $f^{\prime \prime }\le 0$] $(a,b)$-n
2. ha $f^{\prime \prime }>0$ [vagy $f^{\prime \prime }<0$] $(a-b)$-n $⟹$ $f$ szigorúan konvex [vagy szigorúan konkáv] $(a,b)$-n

Bizonyítás

Az alábbi ekvivalens állítások érvényesek:

• $f$ konvex $(a,b)$-n $⟺f^{\prime }\nearrow (a,b)$-n
• $f$ szigorúan konvex $(a,b)$-n $⟺f^{\prime }\uparrow (a,b)$-n
• $f$ konkáv $(a,b)$-n $⟺f^{\prime }\searrow (a,b)$-n
• $f$ szigorúan konkáv $(a,b)$-n $⟺f^{\prime }\downarrow (a,b)$-n

Ezek alapján a tétel állítása a monotonitás és a derivált kapcsolatára vonatkozó tételből következik, ha azt az $f^{\prime }$ deriváltfüggvényre alkalmazzuk, és figyelembe vesszük azt is, hogy $f^{\prime \prime }=(f^{\prime }{)}^{\prime }$.

Az előző négy állításból csak az elsőt fogjuk igazolni. A többi hasonlóan igazolható.

$⟹$ Legyen $u,v\in (a,b),u<v$ tetszőleges és $x\in (u,v)$ is tetszőleges. Tegyük fel, hogy $f$ konvex $(a,b)$-n. Ekkor

$$f(x)\le \frac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-u)+f(u)\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}$$ $$f(x)\le \frac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-v)+f(v)$$

Egyszerű átrendezésekkel azt kapjuk, hogy $$\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\le \frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le \frac{f(x)-f(v)}{x-v}$$

Vegyük itt az $x\to u$, illetve az $x\to v$ határátmenetet: $$f^{\prime }(u)\le \frac{f(v)-f(u)}{v-u}\le f^{\prime }(v)$$ Tehát $f^{\prime }$ monoton növekedő $(a,b)$-n

$⟸$ Tegyük fel, hogy $f^{\prime }$ monoton növekvő $(a,b)$-n. Legyen $u,v\in (a,b),u<v$, és $x\in (u,v)$ is tetszőleges. Ekkor a Lagrange-féle középértéktétel szerint $\exists {\xi }_1\in (u,x)$ és $\exists {\xi }_2\in (x,v)$: $$f^{\prime }({\xi }_1)=\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\acute{\mathrm{e}}\mathrm{s}$$ $$f^{\prime }({\xi }_2)=\frac{f(v)-f(x)}{v-x}$$

Mivel $f^{\prime }\nearrow I$-n, ezért $f^{\prime }({\xi }_1)\le f^{\prime }({\xi }_2)$, vagyis $$\frac{f(x)-f(u)}{x-u}\le \frac{f(v)-f(x)}{v-x}$$

Ez az egyenlőtlenség a következő módon alakítható át:

$$\begin{gathered} \left(f(x)-f(u)\right)(v-x)\le \left(f(v)-f(x)\right)(x-u) \\ f(x)\left((v-x)+(x-u)\right)\le f(u)(v-x)+f(v)(x-u) \\ f(x)(v-u)\le f(u)\left((v-u)-(x-u)\right)+f(v)(x-u) \\ f(x)(v-u)\le (f(v)-f(u))(x-u)+f(u)(v-u) \\ f(x)\le \frac{f(v)-f(u)}{v-u}(x-a)+f(a) \end{gathered}$$

Ez azt jelenti, hogy $f$ konvex $(a,b)$-n.