A szorzatfüggvény deriválási szabálya

Kimondás

Tegyük fel, hogy $f,g\in \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ és $f,g\in D\{a\}$ valamilyen $a\in int({\mathcal{D}}_f\cap {\mathcal{D}}_g)$ pontban.
Ekkor

$$\begin{gathered} f\cdot g\in D\{a\} \\ \acute{\mathrm{e}}\mathrm{s} \\ {\left(f\cdot g\right)}^{\prime }(a)=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a) \end{gathered}$$

Bizonyítás

Nyilván $a\in int{\mathcal{D}}_{fg}$, hiszen ${\mathcal{D}}_{fg}={\mathcal{D}}_f\cap {\mathcal{D}}_g$. Másrészt $$(fg{)}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{(fg)(x)-(fg)(a)}{x-a}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}=$$ $$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)g(x)-f(a)g(x)+f(a)g(x)-f(a)g(a)}{x-a}=$$ $$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{(f(x)-f(a))g(x)+f(a)(g(x)-g(a))}{x-a}=$$ $$=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\underset{x\to a}{\lim }g(x)+f(a)\underset{x\to a}{\lim }\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=f^{\prime }(a)g(a)+f(a)g^{\prime }(a)$$