A határozatlan integrál linearitása

Kimondás

Legyen $I\subset \mathbb{R}$ nyílt intervallum. Ha az $f,g:I\to \mathbb{R}$ függvényeknek létezik primitív függvénye, akkor tetszőleges $\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$ mellett $(\alpha f+\beta g)$-nek is létezik primitív függvénye és $$\int \left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)dx=\alpha \int f(x)dx+\beta \int g(x)dx(x\in I)$$

Bizonyítás

Legyen $F\in \int f$ és $G\in \int g$. Ekkor $F,G\in D(I)$, illetve $F^{\prime }=f$ és $G^{\prime }=g$.

Ekkor az említett deriválási szabályok miatt $$(\alpha F+\beta G{)}^{\prime }=\alpha F^{\prime }+\beta G^{\prime }=\alpha f+\beta g$$

Ez azt jelenti, hogy $\alpha F+\beta G\in \int (\alpha f+\beta g)$.